Лекція 7 Гіпотези про математичні сподівання

1. Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини .

   1. Дисперсія генеральної сукупності відома.

   2. Дисперсія генеральної сукупності не відома.

2. Перевірка гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормально розподілених випадкових величин.

   1. Дисперсії генеральної сукупності відомі.

   2. Дисперсії генеральної сукупності не відомі.

7.3 Порівняння математичних сподівань нормально розподілених випадкових величин, ( залежні вибірки ).

1. Перевірка гіпотези про математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини

1. Дисперсія генеральної сукупності відома

Розглянемо нормально розподілену випадкову величину з невідомим математичним сподіванням , середнє квадратичне відхилення якої відоме. Припустимо, що для отримано вибірку незалежних спостережень досить великого об’єму . Нехай завдання полягає в тому, щоб перевірити гіпотезу , тобто перевірити припущення про рівність математичного сподівання всієї генеральної сукупності значенню .

За критерій перевірки нульової гіпотези беремо випадкову величину

, яка, при справедливості нульової гіпотези, розподілена нормально за законом . Дійсно, випадкова величина - нормована нормальна випадкова величина , оскільки випадкова величина – розподілена нормально з параметрами , .

Якщо рівень значущості задано, то критична область, яка мінімізує ймовірність появи помилки другого роду, будується залежно від альтернативної гіпотези .

1. Якщо альтернативна гіпотеза , критичну область (правосторонню) будують так, щоб їй належали всі значення критерію , які перевищують критичне значення (рис.7.1). Значення визначають із умови

(7.1)

або

.

Рис. 7.1

Оскільки розподіл випадкової величини симетричний відносно нуля, то ймовірність попадання в інтервал дорівнює , тобто

. . (7.2)

Але

, (7.3)

і

, (7.4)

і

.

Тоді (7.5)

. (7.6)

Звідси

. (7.7)

Отже, для того щоб знайти межу правосторонньої критичної області досить знайти значення аргументу функції Лапласа з рівності . Тоді правостороння критична область визначається нерівністю , а область прийому нулової гіпотези визначається нерівністю , де .

2. Якщо альтернативна гіпотеза , то лівосторонню критичну область будують з умови ( рис. 7.2 )

. (7.8)

Рис. 7.2 Рис. 7.3

Оскільки критерій симетричний відносно нуля, то шукана критична точка симетрична точці , для якої , тобто .

Таким чином, критичну точку лівосторонньої знаходять з умови

(7.9)

тобто з рівності

. (7.10)

Тоді лівостороння критична область визначається нерівністю , а область прийому нульової гіпотези – нерівністю .

2. Якщо ж альтернативна гіпотеза визначена не однозначно, тобто , то двосторонню критичну область будують за умови, щоб ймовірність попадання критерію в цю область (при справедливій нульовій гіпотезі) дорівнювала заданому рівню значущості

(7.11)

( – ліва, а – права критичні точки) (рис. 7.3). Найбільшу потужність критерій має у випадку, коли ймовірності попадання в кожний з двох інтервалів критичної області рівні, тобто

. (7.12)

Оскільки – нормована нормальна випадкова величина, розподіл якої симетричний відносно нуля, то критичні точки симетричні відносно нуля. Якщо праву критичну точку позначити , тоді ліва критична точка . Отже, щоб знайти критичну область достатньо знайти праву критичну точку .

Враховуючи (2), (3), (4) і (12) маємо .

Звідси .

Отже, щоб знайти межі двосторонньої критичної області і досить знайти значення аргументу функції Лапласа ( таблиця № 2 додатку 2 ), яке відповідає умові

.

Тоді двостороння критична область визначається нерівністю , а область прийому гіпотези – нерівністю .

Позначимо спостереження значення критерію , обчислене за даними вибірки, через .

Сформулюємо практичні правила перевірки нулової гіпотези

Нехай з генеральної сукупності дисперсія якої дорівнює зроблено вибірку об’єму :

		…
		…

.

Залежно від альтернативної гіпотези нульову гіпотезу ( ) при заданому рівні значущості перевіряють за схемою:

1. Одним із методів обчислюють вибіркове середнє : при малому об’ємі вибірки – безпосередньо, а при великому числі спостережень – спрощеним методом, наприклад, методом добутків або методом сум.

2. Обчислюють спостережуване значення критерію

.