2. Основні теоретичні відомості

2.1. Опрацювання результатів багаторазових вимірювань та визначення числових характеристик розподілу ймовірностей цих результатів як випадкових величин

Для виявлення в результатах вимірювання фізичних величин грубих похибок (промахів) їх необхідно розташувати в порядку зростання або спадання, тобто утворити варіаційний ряд:

x₁  x₂  x₃ … x_n-1  x_n, (1)

де x_i – i-ий результат вимірювання заданого технологічного параметра.

Далі для крайніх членів цього ряду (x₁ і x_n) потрібно обчислити параметри відповідно r₁ і r_n:

; (2)

де – середнє арифметичне, яке вираховують за формулою

, (3)

S – незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення результатів вимірювання:

. (4)

Отримані значення r₁ і r_n необхідно порівняти з допустимим значенням r, знайденим з таблиці 1 у додатку 2 для заданих числа f=n-1 ступеня вільності та довірчої ймовірності P_д (для технічних вимірювань обираємо P_д=95%, q₂=5%).

Якщо ці значення не перевищують допустимого, то в заданому ряді вимірювань грубих похибок нема і студент приступає до виконання наступного пункту курсової роботи. Якщо ж один або обидва параметри (r₁ і r_n) перевищують допустиме значення r, то x₁ або (і) x_n відповідно необхідно вилучити з ряду результатів вимірювань і повторити від початку аналогічний аналіз для решти членів ряду, поки не виконається попередня умова.

Числові характеристики розподілу ймовірностей результатів вимірювання обчислюють для виправленого ряду результатів вимірювань, тобто ряду, з якого усунені грубі похибки.

Оцінкою математичного сподівання m_x є середнє арифметичне цього ряду , яке надалі вважають результатом вимірювання :

= . (5)

Оцінкою медіани при непарному числі n результатів вимірювань є середній член варіаційного ряду з порядковим номером , тобто:

; (6)

а при парному числі n результатів вимірювань – середнє арифметичне між членами цього ряду з порядковими номерами та :

. (7)

Оцінкою моди є результат вимірювання, який найчастіше зустрічається в даному ряді. У деяких випадках доцільно групувати дані за інтервалами частот однакової довжини. При цьому мода береться як центральна точка частотного інтервалу, який вміщає в собі найбільше число вимірювань.

Відповідно до з ГОСТ 8.207-76 на прямокутній площині координат слід побудувати багатокутник розподілу результатів вимірювання. На осі абсцис відкладають результати вимірювань, а на осі ординат – ймовірності цих результатів, які відповідають частоті їх появи під час проведення вимірювань. На графіку вказують отримані під час розрахунків числові характеристики математичного сподівання, медіани та моди.

Далі слід обчислити незміщену та зміщену оцінки дисперсії за залежностями:

, (8)

, (9)

де – середнє арифметичне ряду, n – кількість членів ряду, з якого усунуто промахи.

m₂ є також оцінкою центрального моменту розподілу другого порядку.

Відповідно оцінки центральних моментів розподілу третього m₃ і четвертого m₄ порядків вираховують за формулами:

; (10) . (11)

Оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювань визначається за формулою:

, (12)

де – результат вимірювання.

Оцінка S₁ середнього квадратичного відхилення результатів спостережень визначається за формулою

, (13)

де – коефіцієнт, який визначають з таблиці 2 у додатку 3 в залежності від числа ступенів вільності f=n-1.

Оцінки характеристик асиметрії і ексцесу (гостро- чи плосковершинності) розподілу, які позначають відповідно і , вираховують за формулами:

(14)

(15)

де m_і – моменти i–го порядку, визначені за формулами (9)÷(11).

Для перевірки гіпотези про те, чи результати спостережень належать до нормального розподілу слід скористатись складовим критерієм та методикою Пірсона.