2.3.2 Сечение пирамиды плоскостями.

В зависимости от положения секущей плоскости к основанию пирамиды при пересечении можно получить различные фигуры сечения рисунке 11.

ПРИМЕР.

Даны две проекции правильной четырехугольной пирамиды и фронтальная проекция b2 фронтально проецирующей плоскости b на рисунке 12.

Требуется:

Построить проекции линии пересечения поверхности пирамиды плоскостью b найти натуральную величину фигуры сечения построить развертку усеченной пирамиды построить стандартную проекцию усеченной пирамиды. Основание пирамиды расположено в плоскости Пь

Порядок построения

Построение проекции линии пересечения. Фронтальная проекция A₂D₂B₂C₂ линии фигуры сечения совпадает с фронтальной проекцией b2 плоскости b, как расположенная в ней. Горизонтальная проекция A₁B₁C₁D₁ находится при помощи вертикальных линий связи. Сначала находят проекции вершин фигуры сечения как точек, лежащих на соответствующих прямых затем полученные точки A₁B₁C₁D₁ соединяют последовательно прямыми, получают горизонтальную проекцию сторон фигуры сечения. Профильную проекцию A₃B₃C₃D₃ в данном случае находят только при помощи горизонтальных линий связи.

Нахождение натуральной величины сечения

Натуральную величину сечения находят способом перемены плоскостей проекций Вводим новую плоскость π4 так, чтобы она была параллельно фронтально проецирующей плоскости b. проводят новую ось S₁₄ параллельно проекций b2 плоскости b и на новой плоскости π4 строят новую проекцию А₄B₄C₄D₄ фигуры сечения

Построение развертки поверхности усеченной пирамиды

В данном случае на проекциях выявлены в натуральную величину только основание и фигура сечения. Необходимо определить натуральную длину ребра и частей рассеченных ребер пирамиды. Натуральную величину ребра пирамиды находим путем построения прямоугольного треугольника S₂O₂E₂, у которого S₂О₂=Н a O₂E₂=S₁E₁, гипотенуза S₂E₂ является натуральной величенной ребра. Катет О2Е2 следует расположить на оси уЗ. Затем строим развертку поверхносш не усеченной пирамиды фигуры состоящую:

а) из четырех равнобедренных треугольников, основания которых равны стороне основания пирамиды, а боковые стороны натуральной величине ребра и

б) из квадрата основания.

Для определения натуральной величины нижних частей ребер, необходимых для построения развертки переносим с профильной проекций ненатуральную величину ребра точки Аз, Bз, Сз и Вз, получаем размеры 1,11,12 и 13 нижних частей рёбер.

Затем на соответствующих боковых ребрах откладываем размеры нижних частей рёбер 1,11,12 и 13. Соединяем последовательно прямыми точками Ао Во Co Do и Ао получаем ломаную линию, по которой плоскость b рассекает пирамиду на две части. Для получения развертки поверхности усеченной пирамиды к линии сечения пристраиваем соответствующей стороной фигуру сечения, выявленную в натуральную величину на плоскости π4.

Построение стандартной изометрической проекции усеченной пирамиды.

Пользуясь координатами строят основание пирамиды и вторичную горизонтальную проекцию фигуры сечения A₁B₁C₁D₁ параллельно оси z проводят прямые до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды. Полученные точки являются вершинами фигуры сечения, соединив которые последовательно прямыми, получают изометрическую проекцию фигуры сечения. Определяем видимые и невидимые ребра и обводим их соответствующими линиями. Верхняя часть пирамиды изображена над нижней.

Рисунок 11