8.3. Экспоненциальное сглаживание

Если предварительный анализ накопленных статистических данных не позволяет обнаружить явную тенденцию, но исследователь должен сделать прогноз на базе имеющихся данных, то он может воспользоваться различными методами. Наиболее простой метод состоит в вычислении среднего значения в серии из наблюдений (О) и использовании этого среднего значения в качестве первого приближения для прогнозируемой величины ( ). В таком случае прогноз определяется следующим образом:

Если для накопленных данных, на базе которых мы намерены сделать прогноз, в какой-то мере характерен линейный тренд, то вместо подсчета невзвешенной средней для оценки прогнозируемой величины можно вычислить скользящее среднее.

Однако на практике в подобных случаях используют метод экспоненциального сглаживания. Этот метод автоматически обеспечивает учет недавних наблюдений с большими весовыми коэффициентами по сравнению с более отдаленными (во времени) значениями.

Формулы экспоненциального сглаживания

Предположим, что у нас имеются наблюдения за четыре периода времени (О). Прогнозируемое значение величины ( ) па пятый период может быть представлено следующим образом:

,

где — наблюдаемое значение в предшествующий период,

— прогнозное значение в предыдущий период, или (в общем случае)

.

В приведенных формулах — «константа сглаживания».

При этом следует учесть, что прогнозное значение в предыдущий период было, в свою очередь, определено на основе предшествующих наблюдений. Этот процесс можно представить следующим образом:

Если подставить три приведенные формулы в выражение для P_t, то мы получим:

Если, например, принять значение , то и прогнозируемое значение для пятого периода времени можно будет определить на основании предыдущих значений следующим образом:

Для того чтобы вычислить значение необходимо определить . Обычно полагают, что первое прогнозное значение совпадает с первым наблюдаемым значением, то есть в нашем случае получаем

.

Поскольку является числом в интервале от 0 до 1, то из приведенных выше формул следует, что при прогнозировании весовые коэффициенты убывают по мере удаления (во времени) наблюдаемых значений от прогнозируемого. Можно представить расчет прогнозируемого значения и в несколько иной форме:

.

Такое представление может быть использовано следующим образом: прогноз на новый период равен прогнозу на предшествующий период, скорректированному па величину ошибки предыдущего прогноза с весовым коэффициентом . Если значение близко к нулю, то это означает, что для расчета нового прогнозного значения достаточно внести небольшие коррективы. Такой подход к построению прогнозов возможен в тех случаях, когда исходные данные характеризуются невысокой изменчивостью. В тех случаях, когда наибольшие значения для прогнозируемого Р имеют текущие (самые последние) наблюдаемые значения, следует выбрать коэффициент близким к единице. Но при больших значениях коэффициента прогнозные значения становятся слишком чувствительными к «шуму» (случайным колебаниям наблюдаемых значений) и «достаточно сильно реагируют» на случайные совпадения данных в недавнем прошлом. Одним из возможных методов подбора является метод проб и ошибок.

Пример 8.5. В табл. 8.8 представлены данные об объемах продаж определенного вида ламп. Методом экспоненциального сглаживания построить прогноз объема продаж.

Решение. Для того чтобы продемонстрировать влияние на точность прогнозирования значения коэффициента , а также для представления самого метода экспоненциального сглаживания, расчеты будем проводить для двух уровней и .

Таблица 8.8.

Прогноз объемов продаж методом экспоненциального сглаживания

Номер недели	Фактический объем продаж (Q)	Прогнозируемый объем продаж за неделю ( ), =0,2	Прогнозируемый объем продаж за неделю ( ), =0,5
1	80	80	80
2	70	16+64=80	40+40=80
3	30	14+64=78	35+40=75
4	60	6+62=68	15+37,5=52,5
5	90	12+54=66	30+26,5=56,5
6	80	18+53=71	45+28,5=73,5
7	85	16+57=73	40+37=77
8	70	17+58=75	42,5+38,5=81
9	80	14+60=74	35+40,5=75,5
10	90	16+59=75	40+38=78
11	?	18+60=78	45+39=84

На рис. 8.4 представлены фактические значения еженедельных объемов продаж и прогнозные значения при = 0,2 и = 0,5. На рис. 8.5 представлены абсолютные значения разностей между фактическими и прогнозируемыми значениями при = 0,2 и = 0,5.

Рис. 8.4 показывает, что большие значения обеспечивают приемлемую точность прогноза в тех случаях, когда объем продаж в течение определенного времени развивается в одном направлении, например, продолжает снижаться. В тех случаях, когда наблюдаются значительные колебания в исходных данных, большие значения обеспечивают невысокое качество прогнозов. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить фактические и прогнозируемые значения объемов сбыта для восьмой недели.

Рис. 8.4. График фактических и прогнозируемых объемов продаж.

Рис.8.5. Графики абсолютных отклонений между фактическими и прогнозируемыми недельными объемами продаж.