Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа. Ковариация и корреляция

Связь переменных, на которую накладываются воздействия случайных факторов, называется статистической. Выделяют 2 типа взаимосвязи между переменными Х и У:

1) переменные равноправны,

2) переменные неравноправны.

Для первого типа связи рассматривают корреляционную зависимость, для второго – регрессионную. Соответственно, для решения вопроса о наличии и количественной оценки взаимосвязи социально-экономических показателей применяют 2 группы методов:

1. корреляционного анализа (измерение тесноты связи между переменными, определение неизвестных причин связей, оценка факторов, наиболее влияющих на результат).

2. регрессионного анализа (установление форм зависимости, построение уравнения регрессии).

Эти методы часто объединяют в корреляционно – регрессионный анализ.

Ковариация и корреляция.

Различают выборочную и теоретическую ковариацию. Выборочной ковариацией переменных Х и У называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних:

_{К овариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.}

Р

I

II

ассмотрим диаграмму рассеяния:

III

IV

Точка с координатами на диаграмме является центром рассеяния переменных. Наблюдения, для которых (1 и 3 четверти) дают положительный вклад в ковариацию; наблюдения, для которых дают отрицательный вклад в ковариацию. Соответственно, положительной ковариации соответствует прямая связь переменных, а отрицательной – обратная.

Заметим, что .

Теоретическая ковариация случайных величин Х и У – математическое ожидание произведения отклонения этих величин от своих средних значений.

Если случайные величины Х и У независимы, то .

Более точной мерой зависимости между величинами является коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, изменяющейся в пределах [-1; 1].

Корреляция: а) выборочная, б) теоретическая. Выборочный коэффициент корреляции:

Теоретический коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи двух случайных величин. - при положительной связи (прямая), - отрицательная связь (обратная), = 0 при отсутствии линейной связи.

Случайные величины Х и У называются некоррелированными, если = 0, а если , то Х и У – коррелированные. Независимость случайных величин означает отсутствие любых связей. Некоррелированность – отсутствие только линейной связи.

Геометрическая интерпретация:

Проверка гипотезы о корреляции случайной величины. Пусть по данным выборки объема n определили коэффициент корреляции . Проверим гипотезу о равенстве 0 истинного (теоретического) коэффициента корреляции.

Н₀ : = 0,

Н₁: .

В качестве критерия проверки гипотезы принимаем случайную величину . Величина при справедливости гипотезы Н₀ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Критическое значение определяется по таблице в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы ( .

Если , то Н₀ отвергается, следовательно, принимаем Н₁, т.е. значим.

Если , то Н₀ принимаем, т.е. незначим.