8.4.2 Способ секущих плоскостей
Этот способ применяют для построения линии пересечения поверхностей, позволяющих получать (одновременно) во вводимых секущих плоскостях, графически простые линии (прямые или окружности). Это утверждение может быть проиллюстрировано на примере пересечения цилиндра ∆ и конуса Ф рисунок 8.25.
Рисунок 8.25 – Метод секущих плоскостей
Здесь в качестве вспомогательных секущих плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня Si. На поверхности конуса (в силу того, что они перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют окружности, а на поверхности цилиндра - параллельные прямые (образующие).
Характерные точки А, В линии пересечения определяют в пересечении фронтальных очерков. Текущие точки линии пересечения определятся как результат пересечения соответствующих окружностей и прямых в секущих плоскостях Si.
8.4.3 Способ секущих сфер
Этот способ базируется на том, что две соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной общей оси вращения.
Сфера будет соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр лежит на оси вращения этой поверхности (рисунок 8.26). Это и определяет возможность использовать сферу в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Метод секущих сфер применяют в следующих случаях:
1.рассматривают поверхности вращения, их оси должны пересекаться в одной точке - центре секущих сфер.При этом желательно, чтобы плоскость, образованная пересечением осей, была бы параллельна одной из плоскостей проекции.
Рисунок 8.26 – Пересечение соосных поверхностей
Линия пересечения двух цилиндров Ф и ∆ (RФ>R∆) может быть определена с помощью метода секущих сфер. Это определяется тем, что выполняются все постав ленные выше условия. Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично (рисунок 8.27). Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения 12 и 22 определятся в результате пересечения фронтальных очерков Ф2 и ∆2 ,а горизонтальные определятся по принадлежности этих точек цилиндру Ф.
Низшая точка линии пересечения (3) определяется введением
сферы RФ, которая пересечет цилиндр Ф по окружности l (фрон-
тальная проекция этой окружности совпадет с фронтальной про-
екцией оси вращения цилиндра ∆).
Рисунок 8.27 – Метод секущих сфер
С цилиндром ∆ эта же сфера пересечется по окружности m. Точка 3 и Сфера 1 есть результат пересечения окружностей l и m. Промежуточные точки определятся аналогично, как пересечение окружностей, получающихся в пересечении произвольных сфер RФ<Ri<О212 с цилиндрами Ф и ∆. Фронтальные проекции точек линии пересечения определяются как пересечения отрезков прямых, в которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси вращения, а горизонтальные проекции находятся по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае - поверхности Ф.
8.5 Пересечение линии и поверхности
В общем случае задача формулируют так: построить точки пересечения Аi кривой t с поверхностью Ф, как задача по определению точки пересечения прямой и плоскости.
Задача решается в три этапа.
а) Кривая t относится к вспомогательной проецирующей цилиндрической поверхности Г.
в) Строится линия m пересечения данной и вспомогательной проецирующей поверхности.
с) Фиксируются точки Аi пересечения линий t и m, которые и являются искомыми точками пересечения.
Проиллюстрируем все это на примере построения точек пересечения прямой t с конической поверхностью Ф (рисунок 8.29).
Прямую t целесообразно отнести к плоскости общего положения Г (t∩SN), проходящей через вершину S конической поверхности Ф. Тогда Г пересечёт Ф по образующей m, что значительно упрощает решение.
Рисунок 8.29 – Пересечение
Рисунок 8.30 – Пересечение пространственной кривой с цилиндроидом
На первом этапе строится линия 12 пересечения плоскости Г с плоскостью основания конической поверхности. Затем определяется положение линии m. Пересечение образующей m и линии t и определит решение – точку К.
Для общего случая решение задачи на пересечение цилиндроида с пространственной кривой выглядит следующим образом (рисунок 8.30). Кривая t заключается во фронтально проецирующую цилиндрическую
поверхность Г, которая пересекает цилиндроид Ф по кривой m. Так как m ⊂ Г,
то ее фронтальная проекция m2 совпадает с вырожденной проекцией Г2 вспо-
могательной поверхности Г.
Горизонтальная проекция m1 линии пересечения m строится по точкам из
условия принадлежности цилиндроиду Ф. Линии t и m, принадлежащие по-
верхности Г, пересекаются в искомых точках L и L'.
Приведенное решение является типовым. В ряде случаев для более точ-
ного построения линии пересечения данной и вспомогательной поверхностей
или для упрощения построений целесообразно использовать другие виды
вспомогательных поверхностей.
Контрольные вопросы к разделам 8.4 и 8.5
1.Назовите основные методы построения линии пересечения поверхно-
сти и плоскости, двух поверхностей
2.В чем заключается метод секущих плоскостей? Секущих сфер?
3.Когда можно применять метод секущих сфер?
4.Сформулируйте теорему Монжа.
5.Назовите основные этапы построения точки пересечения линии и по-
верхности.
прямой с конической поверхностью
Литература
“ Начертательная геометрия “ С.А. Фролов
“ Курс начертательной геометрии “ В.С. Гордон
“ Начертательная геометрия “ А.В. Бубенников
Учебник для втузов – 3е издание, переработанное и дополненное.М.Высшая школа 1985г.,288стр.