Индивидуальное задание № 21

Приведите общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду и изобразите данную линию:

1. x² – 6xy + 9y²  8 x + 4 y + 7 = 0.

2. 3x² + 4xy  x + y + 3 = 0.

3. x² – 4xy + 4y²  50x  75 = 0.

4. 6xy + 8y² + x + 3 y + = 0.

5. 4x² – 4xy + y²  2x  14y + 7 = 0.

6. x² – 2xy + y²  8x  8y  16 = 0.

7. xy + 2x + y + = 0.

8. x² – 2xy + y²  10x  6y + 25 = 0.

9. 3x² + 10xy + 3y²  2x  14y  13 = 0.

10. 4xy + 3y² + 16x + 12y  36 = 0.

11. 9x² – 6xy + y²  3 x  9 y  90 = 0.

12. x² + xy + y² + x + y = 0.

13. xy + 4x + 4y = 0.

14. 10x² + 6xy + 2y²  2x + 4y  3 = 0.

15. 4x² – 4xy + y²  x  2 = 0.

16. x² + 6xy + 9y² + 20x + 10y  = 0.

17. 3x² + 4xy + 2x + y + 1 = 0.

18. 5x² + 6xy + 5y²  16x  16y  16 = 0.

19. 4xy + 3y² + 8x + 16y + 24 = 0.

20. 4x² – 4xy + y²  4x  4y + 7 = 0.

21. x² – 2xy + y²  6x  6y  6 = 0.

22. 4xy + 3y²  16x + 8y  64 = 0.

23. x² – 6xy + 9y²  20x  11 = 0.

24. 6xy + 8y² + x + 3y + = 0.

25. x² – 4xy + 4y²  5x + 6 = 0.

26. 5x² + 12xy  22x  12y  19 = 0.

27. 9x² – 6xy + y²  4 x  12 y  8 = 0.

28. x² – 6xy + 9y² + 30y  = 0.

29. x² – 2xy + y²  6x  6y  3 = 0.

30. 5x² + 8xy + 5y²  18x  18y + 9 = 0.

Вариант 31

9x² – 6xy + y² + 20 x + 10 = 0.

Р ешение. I. Выполним поворот координатных векторов i и j системы координат О i j, в которой дано общее уравнение линии. Для этого найдем угол поворота :

ctg2 = ; cos2 = ; sin =

; cos = . Тогда i ^/ = ( ), j ^/ = ( ), а формулы поворота координатных векторов имеют вид:

Н айдем уравнение данной линии в системе координат О i ^/ j ^/ (Ox^/y^/), полученной из системы О i j (Оху) поворотом координатных векторов на угол : Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим: .

I I. Выполним перенос начала координат О системы О i ^/ j ^/ (Ox^/y^/). Для этого выделим полный квадрат при у^/ и освободимся от свободного члена:

Положим Х = , Y = . Тогда формулы переноса начала имеют вид:

Т очка О перейдет в точку О^/(4; 3) (координаты точки О^/ даны в системе координат О i ^/ j ^/ (Ox^/y^/)).

В системе координат О^/ i ^/ j ^/ (О ^/ ХY) уравнение данной линии таково:

Y ² + 2X = 0, т.е. Y ² =  2X.

Следовательно, линия, данная в задаче, является параболой с осью О^/Х и вершиной О^/.

Для построения параболы используем вспомогательные точки: М₁( ;1); М₁^/( ; 1); М₂ (2; 2); М₂^/ (2; 2).

С троим сначала систему координат О i j (Оху) (рис. 25), затем О i ^/ j ^/ (Ox^/y^/) и, наконец, О^/ i ^/ j ^/ (О ^/ ХY). В системе О^/ i ^/ j ^/ строим параболу.

Рис. 25