2.9. Общий метод нахождения решения линейной системы уравнений.
Метод Гаусса
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными
(1)
Для определенности
примем
.
Предположим, что система совместна,
т.е.
.
Кроме того, пусть
.
С помощью элементарных преобразований
строк приведем матрицу
к "ступенчатому" виду
(2)
При этом в силу
условия
получим
строк исходной матрицы нулевыми. Таким
образом, исходная система (1) m
уравнений перейдет в эквивалентную
систему r
линейно независимых уравнений
(3)
В левой части
системы остались так называемые базисные
неизвестные
,
а в правой части параметрические
неизвестные
.
Задавая параметрические неизвестные
, найдем базисные по формулам (3), а
последние вместе с параметрическими
образуют всю совокупность решений
исходной системы.
Пример. Найти все решения системы
Для этого приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
Как видно,
.
Следовательно, система совместна.
Базисный минор матрицы
имеет второй порядок. Поэтому, исходная
система эквивалентна двум линейно
независимым уравнениям
Выберем произвольным
образом
,
получим
.
Итак, вся совокупность решений системы имеет вид
,
где
- произвольные действительные числа.