Тема. Точність і похибки вимірювань.

План.

1. Точність вимірювання. Похибка результату вимірювання.

2. Класифікація похибок вимірювання.

3. Систематичні і випадкові похибки.

4. Клас точності.

Запитання до теми №3

1. Що таке похибка вимірювання?

2. Як поділяються похибки за способом кількісного вираження?

3. Що таке абсолютна, відносна і приведена похибка?

4. Як поділяються похибки за характером вимірювання?

5. Систематична і випадкова похибка. Пояснити відмінність.

6. Як поділяються похибки за способом виникнення?

7. Що таке клас точності? Як він позначається на приладах? Як його розрахувати?

Література до теми №4

1. Закон України про метрологію та метрологічну діяльність. – К.: №111/98 – ВР,11.02.1998р.

2. ДСТУ 2681 – 94. Метрологія. Терміни та визначення. – К.: Держстандарт України, 1994. – 68с.

3. О.Г. Шаповаленко : Основи електричних вимірювань 2002р.

4. Поліщук Є.С., Дорожовець М.М., Яцук В.О. та інші. Метрологія та вимірювальна техніка. – Львів: Бескид Біт, 2003. – 544с.

Точність вимірювання можна означити як ступінь відповідності результату вимірювання істинним значенням вимірюваної величини. Тобто точність є позитивною якісною ознакою вимірювання. Чим ближче результат вимірювання до істинного значення, тим точніше вимірювання і навпаки. Звичайно точність вимірювання не має числового вираження, а є лише суто якісною характеристикою.

На практиці для кількісного оцінювання якості вимірювання найчастіше застосовують негативну характеристику – похибку результату вимірювання або часто просто похибку вимірювання як відхилення результату вимірювання х від істинного (справжнього) значення Х вимірюваної величини.

(4.1)

Похибки вимірювань виникають внаслідок різноманітних причин, зокрема:

• недостатні знання властивостей вимірюваного об'єкта, наявність перешкоджаючих елементів у складі досліджуваного сигналу (шуми, завади тощо);

• недосконалість методів вимірювань, вплив вимірювального приладу на режим роботи схеми тощо;

• конструктивні недоліки засобів вимірювання (відхилення параметрів їхніх елементів та деталей від розрахункових, недосконалість градуювання приладу, старіння, наявність власних шумів ЗВТ);

• наявність та нестабільність ФВ, що впливають на процес вимірювання (температура, тиск, вологість, напруга мережі живлення, зовнішні електричні та магнітні поля тощо);

• недосконалість системи передачі розміру одиниці ФВ приладу;

• суб'єктивні (особисті) властивості оператора (експериментатора), що відбуваються через обмеженість можливостей його органів чуттів, відсутність уваги, стомлення, недостатність кваліфікації тощо;

• від недосконалості обчислювального алгоритму та виконуваних обчислень при опрацюванні первинних результатів для отримання результату вимірювання величини.

Якщо б похибку можна було знайти точно, то відразу можна було би виправити результат вимірювання і отримати істинне значення величини, тобто похибка перестала б бути похибкою. Оскільки неможливо точно визначити похибку вимірювання, то неможливе і абсолютно точне вимірювання, що є одним з головних протиріч вимірювань.

На практиці, щоб вирішити це протиріччя, визначають не точне значення похибки вимірювання, а оцінюють певні її характеристики, зокрема деякий інтервал, в якому вона може знаходитися. Цей інтервал може бути з твердими (безумовними) границями в тому значенні, що ні за яких умов похибка вимірювання не вийде з цього інтервалу або з м’якими чи умовними (імовірнісними, довірчими чи вірогідними) границями, в тому значенні, що похибка вимірювання знаходиться в цьому інтервалі лише з певною ймовірністю.

Кінцевою метою аналізу похибок вимірювання якраз є оцінювання границь (умовних чи безумовних), в яких міститься фактичне значення похибки.

Похибка результатів вимірювання – це число, що показує можливі межі невизначеності значення вимірюваної величини.

Похибки вимірювань систематизуються за тими ознаками (рис.3.1), що визначають їх основні особливості.

Рисунок 3.1 – Класифікація похибок

За способом кількісного вираження похибки поділяються на абсолютні, відносні, приведені.

Різниця між результатом вимірювання х та істинним значенням шуканої величини Х_і називається абсолютною похибкою вимірювання

Δ= Х - Х_і (4.1)

Абсолютна похибка виражена в одиницях вимірюваної величини.

Для порівняння якості вимірювань різних значень однієї величини або різних вимірюваних величин абсолютна похибка є незручною. Для кількісної характеристики якості вимірювання у таких випадках використовують відносну похибку, теоретично як відношення абсолютної похибки до істинного значення вимірюваної величини, а практично – до виміряного значення (результату) (виражене у відсотках)

Відносна похибка вимірювання являє собою відношення абсолютної похибки вимірювання до істинного значення вимірюваної величини. Виражається у відносних одиницях або у відсотках.

(4.2)

Чим менша відносна похибка, тим точніше вимірювання і навпаки.

Відмінність між теоретичним ( ) та практичним ( ) значеннями відносної похибки дуже мала , тому на практиці такою різницею нехтують.

Приведена похибка – це відношення абсолютної похибки до нормованого значення Х_N (наприклад, до кінцевого значення шкали)

(4.3)

Нормоване значення - це умовно прийняте значення , яке може бути рівним:

- для приладу з рівномірною односторонньою шкалою рівне верхній межі вимірювання;

- для приладів з нерівномірною шкалою або з нульовою позначкою з краю шкали - кінцевому діапазону вимірювань;

- для приладів, які мають двосторонню шкалу , тобто з відмітками шкали, розташованих по обидві сторони від нуля, - арифметичній сумі кінцевих значень діапазону вимірювань.

За характером вимірювання похибки поділяються на систематичні, випадкові і грубі.

Систематичні похибки – складові похибки вимірювань, що залишаються постійними або закономірно змінюються при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини в одних і тих же умовах.

Найнебезпечнішими є сталі систематичні похибки, оскільки під час вимірювань вони не проявляються, зокрема при повторних вимірюваннях показ приладу залишається незмінним. Змінні проявляються у зміні показів, тому їх значно легше виявити і врахувати.

Сталі систематичні похибки зазвичай описують їх граничними значеннями, тобто такими значеннями, які може набувати похибка у найнесприятливіших умовах:

• абсолютні

або (4.4)

• відносні

або (4.5)

Ці записи означають, що фактичне значення систематичної похибки залишається сталим, однак невідомим, не виходячи за встановлені граничні значення.

Випадкові похибки – складові похибки вимірювань, що змінюються випадковим чином при повторних вимірювань однієї і тієї ж величини в однакових умовах.

Однією з найважливіших характеристик випадкової похибки є її густина (закон, щільність) розподілу значень. Вона характеризує частість появи тих чи інших значень похибки.

Нехай вимірювання деякої величини супроводжувалося випадковою похибкою, яка в різні моменти часу набувала різні значення, а результати вимірю­вань були проквантовані (рис. 4.1, а). Якщо уявити, що рівні квантування- це натягнені дротинки, а результати вимірювань - кульки, що можуть ковзати по них то, струсивши отримані за певний, досить тривалий час, всі кульки в один бік (рис. 4.1,6), одержимо наочний аналог густини розподілу випадкової похибки.

Залежно від того, які значення може набувати похибка, густина розподілу, може бути неперервною або дискретною (квантованою за значенням) функцією. При квантуванні випадкової похибки кількість значень, що потрапили до одного кванта, віднесена до загальної кількості результатів, є оцінкою ймовірності появи похибки певного значення (подібно як на рис. 4.1, б).

Рис. 4.1. Часова залежність випадкової похибки (а) і аналог густини розподілу її значень (б)

Промахи - це занадто великі відхилення результату вимірювання від істинного значення, які є неможливими при використанні справних засобів вимірювань в робочих умовах та при забезпеченні інших важливих складових вимірювального процесу. Зазвичай причиною промахів є несправність вимірю­вальних засобів, неправильні дії оператора (наприклад, неправильний запис результату), стрибкоподібні зміни напруги живлення, вплив інтенсивних йшульсних завад (наприклад, розряд блискавки чи високовольтної лінії електро­передачі) тощо.

Існують статистичні критерії, які дають змогу об'єктивно відрізнити велику похибку (яка можлива під час цих вимірювань) від промаху.

За причиною виникнення похибки поділяються на методичні, інструментальні, зовнішні і суб’єктивні.

Методичні похибки. Це похибки, що пов'язані з невідповідними (неадекватними) моделями вимірюваних об'єктів та їх величин, зокрема спрощен­нями залежностей, моделей вимірювальних перетворень сигналів та зумовлені взаємодією засобів вимірювальної техніки та об'єктів. У певних вимірюваннях методичні похибки можуть бути великими, а в інших настільки малими, що ними можна знехтувати.

Розглянемо спочатку похибку від недосконалості (чи спрощення) моделі вимірюваної величини. Наприклад, вимірюючи силу змінного електричного струму в провіднику, найчастіше приймають його гармонічну модель. Насправді форма кривої струму може бути спотворена, він може мати вищі гармоніки, а також сталу складову. Крім того, дія зовнішнього електромагнітного поля спричиняє наведення електричних завад у провіднику в різних частотних діапазонах. У провіднику генеруються також власні температурозалежні електричні шуми. Зовнішні наведення та внутрішні шуми за певних умов (наприклад, низький рівень струму) можуть істотно спотворити вимірюваний струм. Під час вимірювання струму неврахування зазначених ефектів може спричинити істотну похибку вимірювання. Крім того, протікання вимірюваного струму спричиняє нагрівання резистора, що, своєю чергою, може спричинити зміну струму через нього.

На вибір моделі вимірюваної величини значною мірою впливає конкретна мета вимірювання, яка встановлює потрібну точність вимірювання. На практиці якщо потрібна точність вимірювання не досягнена, а інші оцінені складові похибки вимірювання є малими, то модель об'єкта і вимірюваної величини необхідно уточнити, можливо, навіть і ускладнити.

Іншою складовою методичної похибки є похибка від небажаної взаємодії засобу з об'єктом. Зокрема, нехай в колі з загальним опором R_K=R₀+R_х, протікає струм І_х, значення якого треба виміряти (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Методична похибка від взаємодії ЗВ з об’єктом вимірювання

Якщо в коло увімкнути амперметр з ненульовим опором R_A, то загальний опір кола збільшиться до R_K+R_A- Внаслідок цього струм в колі зменшиться від значення U/R_K до U/(R_K +R_A) =і_А (де і_А - показ амперметра). Відносна похибка, що зумовлена увімкненням амперметра

(4.6)

Абсолютна методична похибка вимірювання струму, як і відносна, завжди с від'ємною

(4.7)

Отже, методична похибка вимірювання залежить від співвідношень опорів вола та амперметра і є тим меншою, чим менше це відношення.

Інструментальні похибки - це похибки, що зумовлені недосконалістю засобів вимірювальної техніки та залежністю їх властивостей від впливу зовнішніх умов. Серед всіх інших можливих складових інструментальна похибка вимірювання є присутньою завжди, оскільки неможливе вимірювання без засобів (інструментів).

Засоби вимірювальної техніки використовують у певних умовах, серед них температура довкілля, його тиск, вологість, напруженість магнітного, електроста­тичного поля, інтенсивність електромагнітного поля, рівень завад спільного і нормального видів, рівень радіації, механічних вібрацій, стрясань та ударів, напруга та частота живлення, певне просторове положення та інші. Ці величини самі по собі можуть не бути вимірюваною величиною конкретного ЗВ, однак вони впливають на його роботу, змінюючи покази чи інші характеристики. їх називають впливними величинами.

Для кожної з величин встановлюють нормальні значення або область нормальних значень (нормальні умови), а також область робочих значень (робочі умови). Для кожного типу ЗВ регламентуються вид впливних величин і конкретні їх нормальні та робочі області значень.

Якщо всі регламентовані для цього ЗВТ впливні величини є в області нормальних значень (вважають, що вимірювання виконують в нормальних умовах), то для ЗВТ оцінюють лише основну похибку. Отже, основна похибка ЗВТ ∆_осн - це його похибка в нормальних умовах.

Якщо хоч одна з впливних величин виходить за межі нормальних значень, але є в межах робочих значень, то, крім основної, необхідно оцінювати додаткову ∆_дод.

∆ = ∆_осн+∆_дод (4.8)

Якщо хоч одна з впливних величин виходить за межі робочої області, то інструментальна похибка не може бути оцінена і результати вимірювань не можна використовувати за призначенням.

Зовнішні похибки – зумовлені зовнішніми умовами при яких проходить вимірювання.

Суб’єктивні похибки – викликаються помилками оператора при відрахунку показів засобів вимірювальної техніки.

Крім зазначених вище, похибки класифікують за іншими ознаками .

Адитивні, мультиплікативні та нелінійні похибки. Залежно від значення вимірюваної величини розрізняють адитивні, мультиплікативні та нелінійні похибки.

Адитивні - це похибки (абсолютні), які не залежать від значення вимірю­ваної величини, тобто ніби алгебраїчно додаються (англ. add - додавати) до вимірюваної величини.

Мультиплікативні похибки - це похибки (абсолютні), які лінійно зростають чи зменшуються зі збільшенням значення вимірюваної величини, тобто є пропорційними до добутку (англ. multiplication - множення) певного коефіцієнта (додатного чи від'ємного) і значення вимірюваної величини.

Сталі (систематичні) та змінні (прогресуючі, регулярні та випадкові) похибки. Залежно від характеру зміни значення похибки в часі розрізняють сталі (систематичні) та змінні похибки (прогресуючі, регулярні та випадкові).

Сталі (систематичні) похибки - це похибки, які упродовж здійснення вимірювального експерименту не змінюють свого значення, хоча воно може залишатися невідомим.

Змінні похибки, які, своєю чергою, можна поділити на прогресуючі, регулярні та випадкові похибки.

Прогресуючі - це похибки, які упродовж здійснення вимірювального експе­рименту практично лінійно змінюють своє значення (лінійно зростають чи зменшуються). їх ще називають дрейфами.

Регулярні – це похибки, які під час виконання вимірювального експерименту змінюються регулярно, наприклад, періодично, і закон їх часової зміни може бути дослідженим, і визначеним, і далі їх можна врахувати.

Випадкові - це похибки, які протягом вимірювального експерименту змінюються непередбачувано і їх майбутні значення не можуть бути спрогнозовані повною мірою, а лише з певною часткою ймовірності.

Статичні та динамічні похибки. Відповідно до режиму вимірювань розрізняють статичні та динамічні похибки.

Статичні - це похибки, які виникають під час так званих статичних вимірювань, у яких вимірювана величина упродовж вимірювального експери­менту не змінюється, а також у використовуваних засобах вимірювальної техніки закінчилися перехідні процеси при поданні на їх вхід вимірюваної величини.

Причини виникнення похибок. Вимірювання виконують не ідеальними засобами, їх взаємодія з об'єктом може спричинити небажану зміну розміру вимірюваної величини, умови, в яких відбуваються вимірювання, змінюються і негативно впливають як на об'єкт вимірювання, змінюючи розмір вимірюваної величини, так і на засоби вимірювальної техніки, експериментатор також може допускати певні неточності, виконуючи вимірювальний експеримент, обчислюючи результати тощо. Всі ці ефекти спричиняють погіршення точності вимірювання, що проявляється у відмінності (відхиленні) результату вимірювання і справжнього значення величини і власне таке відхилення прийнято називати похибкою вимірювання. Існують різноманітні причини виникнення похибок. Відрізняючись своїми властивостями, вони по-різному впливають на результат вимірювання. Внаслідок цього існують різні методи як зменшення, так і оцінювання впливу похибок на результати.

Залежно від причини чи місця виникнення розрізняють такі основні складові похибки від:

• незбігання моделі вимірюваної величини та справжньої властивості об'єкта, розмір якої треба виміряти (вимірюємо не те, що мали б вимірювати), зокрема від зміни вимірюваної величини під час вимірювання;

• недосконалості засобів, що використовують при вимірюваннях;

• взаємного впливу засобів та об'єкта;

• спрощень математичних моделей вимірювальних перетворень (аналогових та цифрових);

• впливу зовнішніх умов на об'єкт та засоби вимірювань;

• недостатньої кваліфікації експериментатора, що здійснює вимірювання;

• недосконалості обчислювального алгоритму та виконуваних обчислень при опрацюванні первинних результатів для отримання результату вимірювання величини.

Після вимірювальних експериментів опрацьовують результати спостережень для визначення результату вимірювання.

Результат вимірювання є повноцінним за умови, що він супроводжується оцінкою його точності.

Основні операції опрацювання первинних результатів вимірювання:

• попередній аналіз результатів спостережень, їх систематизація, відкидання явно недостовірних;

• виконання розрахунків згідно з вибраним алгоритмом;

• оцінювання похибок від впливу завад;

• підсумовуванняскладових похибок вимірювання;

• аналіз отриманих результатів;

• подання результатів вимірювання та характеристик їх точності за відповідною формою.

Клас точності ЗВТ - узагальнена характеристика ЗВТ, яка визначається границями його допустимих основної і додаткової похибок, а також іншими характеристиками, що впливають на його точність, значення яких регламентується. Клас точності ЗВТ характеризує його властивості щодо точності, але не є безпосереднім показником точності вимірювань, що виконують за його допомогою. Іншими словами, клас точності – це не похибка ЗВТ, а характеристика, за допомогою якої можна оцінити похибку ЗВТ.

Клас точності – це узагальнена характеристика точ­ності засобів вимірювання, яка визначає межі допустимих основної і додаткової похибки.

Державними стандартами встановлено такі види позна­чення класу точності засобів вимірювання:

1. Засоби вимірювання, у–яких переважає адитивна складова похибки, характеризуються граничне допусти­мим значенням зведеної похибки, поданої у відсотках. У цьому випадку клас точності позначається у вигляді числа з десятковою комою, наприклад 1,5; 0,5; 0,02.

Таким чином, якщо клас точності деякого засобу вимірювання позначено, наприклад, 0,5, то це означає, що граничне допустиме значення зведеної похибки γ_гр.д, вира­жене у відсотках, дорівнює 0,5, тобто

де Х_ном – номінальне значення вимірюваної величини. Знаючи клас точності, можна визначати граничне допу­стимі значення абсолютних та відносних похибок вимірювання.

Наприклад, потрібно визначити абсолютну та відносну похибку результату вимірювання струму 68,6 мА за допо­могою амперметра класу 0,2 з номінальним значенням 75 мА.

Оскільки клас точності амперметра – це зведена похиб­ка у відсотках, то абсолютне значення похибки визначається:

Відносна похибка вимірювання

δ =^Δ/_І100%=^±0,15мА/_68,6мА*100%=±0,22%

Таким чином, абсолютна похибка результату вимірю­вання струму 68,6мА не перевищує ±0,15 мА, а відносна похибка не перевищує ±0,22%. Результат вимірювання можна записати у такому вигляді: I=(68,60±0,15) мА.

Запитання до теми №4

1. Що таке похибка вимірювання?

2. Як поділяються похибки за способом кількісного вираження?

3. Що таке абсолютна, відносна і приведена похибка?

4. Як поділяються похибки за характером вимірювання?

5. Систематична і випадкова похибка. Пояснити відмінність.

6. Як поділяються похибки за способом виникнення?

7. Що таке клас точності? Як він позначається на приладах? Як його розрахувати?