Введение Помехоустойчивое кодирование

    Под помехой понимается любое воздействие, накладывающееся на полезный сигнал и затрудняющее его прием. Ниже приведена классификация помех и их источников.

    Внешние источники помех вызывают в основном импульсные помехи, а внутренние  флуктуационные. Помехи, накладываясь на видеосигнал, приводят к двум типам искажений: краевые и дробления. Краевые искажения связаны со смещением переднего или заднего фронта импульса. Дробление связано с дроблением единого видеосигнала на некоторое количество более коротких сигналов.

Приведем классификацию помехоустойчивых кодов.

    Построение помехоустойчивых кодов в основном связано с добавлением к исходной комбинации (kсимволов) контрольных (rсимволов) см.на рис.1.1. Закодированная комбинация будет составлять nсимволов. Эти коды часто называют (n,k)  коды.

          k—число символов в исходной комбинации

         r—число контрольных символов

Рис.1.1. Получение (n,k)-кодов.

Циклические коды

Циклические коды – подкласс класса линейных кодов, которые удовлетворяют следующим циклическим свойствам: если  - кодовое слово циклического кода, тогда , полученное циклическим сдвигом элементов кода , также являются кодовым словом. Все циклические сдвиги  образуют кодовые слова. Как следствие циклического свойства, эти коды обладают значительным количеством структурных удобств, которые можно использовать при реализации операций кодирования и декодирования. Большое количество алгоритмов эффективных кодеров и декодеров жёстких решений были сделаны посредством циклических кодов, что сделало возможным в практических системах связи строить блоковые коды большой длины с большим количеством кодовых слов. Описание специфических алгоритмов находится вне кругозора этой работы. Наша основная цель - вкратце описать некоторые характеристики циклических кодов.

Алгебраические свойства циклических кодов

При работе с циклическими кодами принято связывать с кодовым словом  полином  степени , определённый так

.                    (1.1)

Для двоичного кода каждый из коэффициентов полинома является или нулем, или единицей. Рассмотрим алгебру циклических кодов. Допустим, необходимо перемножить три многочлена (x³+x²+1)·(x³+x+1)·(x+1). Действия производятся также как в обычной алгебре, только сложение проводится по модулю 2.

При делении операция вычитания заменяется операцией сложения по модулю 2. Например, необходимо разделить многочлен седьмой степени на многочлен третей степени (x⁷+x⁵+x⁴+x+1) / ( x³+x²+1)

Операция деления может быть произведена или в виде многочленов или в виде двоичных кодов.

 

Схема деления реализуется на регистрах сдвига со встроенными сумматорами по модулю 2. Вид схемы определяется многочленом, на который производится деление. В процессе деления с помощью такого устройства находится остаток.

Теперь предположим, мы формируем полином

.

Этот полином не может представить кодовое слово, так как его степень может быть равна  (если ). Однако если мы разделим  на , мы получим

,                    (1.2)

где

.

Заметим, что полином  представляет кодовое слово , которое как раз образовано из кодового слова  циклическим сдвигом на одну позицию. Поскольку  представляет собой остаток, полученный делением  на , мы говорим, что

.                    (1.3)

Аналогичным образом, если  представляет кодовое слово в циклическом коде, тогда  также является кодовым словом циклического кода. Так что можно написать

,                    (1.4)

где остаточный полином  представляет кодовое слово циклического кода, a  -частное.

Мы можем генерировать циклический  код, используя порождающий полином  степени  с двоичными коэффициентами, который является множителем при факторизации полинома . Порождающий полином в общем виде можно записать так

.                    (1.5)

Мы также определяем полином информационного сообщения

,                    (1.6)

где  определяет  информационных бит. Ясно, что произведение  - это полином степени меньшей или равной , который может представлять кодовое слово. Заметим, что имеется  полиномов  и, следовательно, имеется  возможных кодовых слов, которые можно формировать при заданном .

Допустим, что мы обозначим эти кодовые слова так

                    (1.7)

Чтобы показать, что кодовые слова в (1.7) удовлетворяют циклическому сдвигу, рассмотрим какое-либо кодовое слово  в (1.7), Циклический сдвиг  дает

                    (1.8)

и, поскольку и  и  делятся на  без остатка, то и  делится на  без остатка, т.е.  можно представить как

.

Следовательно, циклический сдвиг в кодовом слове , генерируемый согласно (1.7), порождает другое кодовое слово.

Из вышесказанного мы видим, что кодовые слова, обладающие циклическими свойствами, можно генерировать умножением  сообщений на уникальный полином степени    - называемый порождающим полиномом циклического  кода, который является множителем при факторизации . Циклический код, генерируемый указанным образом, занимает подпространство  векторного пространства . Размерность подпространства  равна .

Пример 1.1 Рассмотрим код с длиной блока . Полином  можно разложить на следующие сомножители

.                    (1.9)

Чтобы синтезировать циклический код (7,4), мы можем взять один из двух порождающих полиномов:

или                                                           (1.10)

.

Коды, генерируемые порождающими полиномами  и , квивалентны. Кодовые слова кода (7,4), генерируемые полиномом  даны в табл. 1.1

В общем полином  можно факторизовать так:

,

где  - означает порождающий полином для циклического  кода,  означает проверочный полином степени . Последний можно использовать для генерирования дуального кода.

Таблица 1.1 Циклический код (7,4). Порождающий полином

Информационные биты				Кодовые слова
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0
0	0	1	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	0	]	1	1	0
0	1	1	1	0	1	0	0	0	1	1
1	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0
1	0	0	1	1	1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	0	0	0	1
1	1	1	0	1	0	0	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0	0	1	0	1	1

С этой целью можно использовать полином, обратный , определяемый так:

        (1.11)

Ясно, что  делится без остатка и на обратный полином. Следовательно,  является порождающим полиномом циклического  кода. Этот циклический код дуален коду , генерируемому порождающим полиномом . Таким образом,  дуальный код образует нуль-пространство циклического  кода.

Пример 1.2 Рассмотрим циклический код, дуальный коду (7,4), генерированному в примере 1.1 Этот дуальный циклический код (7,3) связан с проверочным полиномом

.                    (1.12)

Обратный полином равен

.

Этот полином генерирует дуальный код (7,3), данный в таблице 1.1 Читатель может убедиться в том, что кодовые слова дуального кода (7,3) ортогональны кодовым словам циклического кода (7,4) из примера 1.1.

Желательно показать, как можно получить порождающую матрицу из порождающего полинома циклического кода . Как указано выше, порождающую матрицу для  кода можно сконструировать из любого набора  линейно независимых кодовых слов. По заданному порождающему полиному  легко генерировать набор  линейно независимых кодовых слов – это кодовые слова, соответствующие набору  линейно независимых полиномов .

Таблица 1.2 Дуальный код (7,3). Порождающий полином

Информационные биты			Кодовые слова
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	0	0	1	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	1	1	0	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	0	1	1	0	1	0	1

Поскольку любой из полиномов степени меньшей или равной , который делится на , можно выразить как линейную комбинацию этих полиномов, набор образует базис размерностью . Следовательно, кодовые слова, связанные с этими полиномами, формируют базис размерности  для циклического кода .