Алгоритм выполнения задания
1. Построить таблицу эмпирического распределения для X (таблица 8.2, столбцы 1-3) и добавить в ту же таблицу вспомогательные значения (столбцы 4-6). Составить также вспомогательную таблицу 8.3
2. Вычислить выборочные средние и выборочные дисперсии:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
3. Вычислить коэффициенты прямой регрессии Y на Х:
;
и записать
уравнение этой прямой:
.
Прямая регрессии обязательно
проходит через точку с координатами
(
),
которая называется центром рассеивания.
4. Вычислить коэффициент корреляции по формуле (31)
и сделать вывод о тесноте линейной
зависимости.
Пример 8.
Пусть корреляционная таблица имеет вид (таблица 8.1):
Таблица 8.1. Корреляционная таблица
-
Х
Y
nх
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0
3
7
10
1
3
6
1
10
2
4
5
1
10
3
3
4
3
10
4
3
4
3
10
nу
3
10
6
1
4
5
4
4
6
4
3
50
Построим таблицы эмпирического распределения и вспомогательных значений: (таблицы 8.2 и 8.3).
Таблица 8.2. Эмпирическое распределение
хi |
nxi |
|
nxi.хi |
nxi.(хi)2 |
nxi.хi. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
10 |
13,5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
10 |
19 |
10 |
10 |
190 |
2 |
10 |
33,5 |
20 |
40 |
670 |
3 |
10 |
45 |
30 |
90 |
1350 |
4 |
10 |
55 |
40 |
160 |
2200 |
Суммы |
50 |
|
4=100 |
5=300 |
6=4410 |
*
*) Примечание
Таблица 8.3. Вспомогательные значения
yi |
nyj |
nyj.yj |
nyj.(yj)2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
3 |
30 |
300 |
15 |
10 |
150 |
2250 |
20 |
6 |
120 |
2400 |
25 |
1 |
25 |
625 |
30 |
4 |
120 |
3600 |
35 |
5 |
175 |
6125 |
40 |
4 |
160 |
6400 |
45 |
4 |
180 |
8100 |
50 |
6 |
300 |
15000 |
55 |
4 |
220 |
12100 |
60 |
3 |
180 |
10800 |
Суммы |
50 |
7 = 1660 |
8 = 67700 |
Вычислим выборочные средние и выборочные дисперсии:
= 100/50 = 2;
= 300/50 = 6;
= 6 – 4 = 2;
= 1,414;
= 1660/50 = 33,2;
= 67700/50 = 1354;
= 1354 – 33,22 = 251,76;
= 15,87;
= 4410/50 = 88,2.
Вычислим коэффициенты прямой регрессии Y на Х:
;
.
Тогда уравнение этой прямой:
.
На рис. 2 построено эмпирическое
распределение (точки (
;
))
и прямая регрессии.
Центр рассеяния – точка (2; 33,2)
Вычислим коэффициент корреляции
.
Так как коэффициент корреляции близок
к единице, можно сделать вывод о сильной
положительной линейной зависимости
между признаками (случайными величинами)
Х и Y.
Рис. 2. Эмпирическое распределение и прямая регрессии