Основные теоретические сведения Элементы теории вероятностей

1. Основные понятия. Классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А (обозначается Р(А) ) называется отношение числа благоприятных исходов (т.е. число появления события А ) к числу всех равновозможных исходов (результатов испытаний).

Итак, . (1)

Наряду с классическим определением вероятности используется и статистическое определение: если проделано n опытов, в каждом из которых событие А либо произошло, либо не произошло, то относительная частота события А вычисляется по формуле

. (2)

Для подсчета значений m и n в формуле (1) часто используются формулы комбинаторики.

При выборе i предметов из k без учета порядка выбора, число всех вариантов (сочетаний) вычисляется по формуле , где k! означает произведение 1∙2∙3∙...∙k.

Если же при выборе i предметов из k порядок выбора важен, то число вариантов (размещений) задается формулой .

Частным случаем размещений являются перестановки, когда подсчитывается число различных размещений всех k предметов. Количество перестановок вычисляют по формуле .

2. Вероятность суммы и произведения событий

Произведением двух событий А и В называется событие А·В, состоящее в осуществлении обоих исходных событий (А и В).

Если осуществление одного события не влияет на вероятность осуществления второго события, то события называются независимыми. Если же такое влияние есть, то вероятность второго события называется условной вероятностью. Условную вероятность события А при осуществлении события В будем обозначать . Если события независимы, то .

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события.

Отсюда вытекают две формулы.

Для независимых событий: . (3)

Для зависимых событий: . (4)

Суммой (А+В) двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из этих событий (т. е. .либо только события А, либо только события В, либо обоих событий вместе).

Если события А и В не могут произойти одновременно, то такие события называются несовместными.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного осуществления.

Отсюда вытекают две формулы.

Для несовместных событий: . (5)

Для совместных событий: . (6)

События образуют полную группу, если в результате опыта одно из них обязательно произойдет. Два несовместных события, образующие полную группу, называются противоположными. Событие, противоположное событию А, обозначается .

Вероятность противоположного события вычисляется по формуле

. (7)