II Элементы математической статистики

7. Статистическая обработка результатов измерений

Дан протокол измерений случайной величины Х. Для этой случайной величины требуется:

а) составить интервальную таблицу частот,

б) получить точечные оценки для математического ожидания и дисперсии,

в) найти доверительный интервал для математического ожидания,

г) построить гистограмму,

д) аппроксимировать гистограмму теоретическим нормальным законом распределения,

е) с помощью критерия ² проверить согласованность теоретического и статистического законов распределений.

Алгоритм выполнения задания

I Простейшая статистическая обработка:

1) Упорядочить вариационный ряд (т. е. записать все значения вариант в порядке возрастания) (таблица 7.1).

2) Найти размах: R = X_max – X_min .

3) Подобрать количество разрядов (интервалов):

k = 1+3,32lg(n) = 1,44ln(n)+1, где п – объем выборки (количество разрядов должно быть целым числом).

4) Построить интервальную таблицу частот. Для этого находят длину интервала x = R/k (если R не делится нацело на k, то можно слегка расширить диапазон значений случайной величины) и границы интервалов – точки ₁, ..., _k+1, где _i = ₁ + (i–1)x. Затем подсчитывают частоты m_i – количество значений случайной величины (вариант), попавших на каждый интервал.

В таблицу 7.2 заносят границы интервалов (_i; _i+1), среднее значение варианты на каждом интервале , частоты m_i и относительные частоты (частости) (столбцы 1-4).

II Вычисление числовых характеристик (точечных выборочных оценок):

1) Вычислить выборочное среднее – оценку для математического ожидания.

2) Вычислить выборочную дисперсию – оценку для дисперсии.

3) Вычислить стандартное отклонение – оценку для среднего квадратичного отклонения.

III Построение доверительного интервала для математического ожидания а:

1) Зная доверительную вероятность (надежность) , найти по таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 1) соответствующее значение t, для которого .

2) Вычислить предельную ошибку ,

где s – стандартное отклонение, п – объем выборки.

3) Записать доверительный интервал для математического ожидания

.

IV Построение гистограммы

Для построения гистограммы относительных частот вычисляют высоты столбцов гистограммы (удобно добавить их в таблицу 7.2 – столбец 5), на оси абсцисс отмечают точки ₁, ..., _k+1 и над каждым интервалом (_i; _i+1) строят прямоугольник высотой h_i. В результате получается ступенчатая фигура, верхний контур которой приблизительно соответствует графику плотности распределения исследуемой случайной величины (рис.1).

V Аппроксимация гистограммы нормальным законом распределения:

1) Составить таблицу значений теоретического нормального закона с параметрами а =  ,  = s: .

Для удобства расчетов можно

а) найти значения ;

б) по таблице Приложения 1 из [1] найти ;

в) вычислить (таблица 7.3).

2) Построить график теоретической кривой

На рис. 1 отметить точки с координатами ( ; ) и соединить их плавной кривой.

3) Сделать вывод о согласованности статистического распределения (гистограммы) с теоретическим нормальным законом распределения, проанализировав полученный рисунок.

VI Проверка согласованности статистического и теоретического распределений:

1) Вычислить статистику ² : ,

где ;

– функция Лапласа (см. Приложение 1).

2) Определить число степеней свободы r = k – 3.

3) Анализ результатов. Выбрав уровень значимости  (например,  = 0,05), в таблице критических точек распределения ² (Приложение 3), найти ²_кр.

Если ² < ²_кр, то можно принять гипотезу о нормальном распределении, т. е. полученный теоретический закон хорошо аппроксимирует статистическое распределение.

Если ² > ²_кр, то гипотеза о выборе теоретического закона отвергается, т.е. полученный закон не согласуется с экспериментальными данными.

Пример 7

Записав исходные данные в порядке возрастания, получили следующий упорядоченный вариационный ряд (таблица 7.1):

Таблица 7.1. Упорядоченный вариационный ряд

95	112	118	122	127
97	113	119	123	127
98	113	119	123	128
101	114	119	123	128
102	114	119	123	128
102	114	120	123	129
103	115	120	124	129
105	115	120	124	130
105	115	120	124	131
106	115	120	125	131
107	115	121	125	131
107	116	121	125	132
108	116	121	125	132
109	116	121	125	132
109	117	121	126	133
109	117	121	126	134
110	117	121	126	134
111	117	122	126	135
111	117	122	127	137
111	118	122	127	141

Найдем размах R = 141 – 95 = 46.

Так как объем выборки п = 100, а количество разрядов должно быть целым числом, то удобно брать k = 7 или k = 8. Расширим диапазон значений вариант до промежутка (94; 142) и выберем k = 8.

Тогда длина интервала x = (142 – 94)/8 = 6.

Построим интервальную таблицу частот (таблица 7.2, столбцы 1-4). В ту же таблицу занесем вычисленные значения высот столбцов гистограммы.

Таблица 7.2. Интервальная таблица частот

Границы интервалов (i , i+1)	Среднее значение	Частота mi	Относительная частота wi	Высота столбца гистограммы hi
94 – 100	97	3	0,03	0,0050
100 – 106	103	7	0,07	0,0117
106 – 112	109	11	0,11	0,0183
112 – 118	115	20	0,20	0,0333
118 – 124	121	28	0,28	0,0467
124 – 130	127	19	0,19	0,0317
130 – 136	133	10	0,10	0,0167
136 – 142	139	2	0,02	0,0033

Вычислим числовые характеристики.

Выборочное среднее:  = 

= (97^.3+103^.7+109^.11+115^.20+121^.28+127^.19+133^.10+139^.2)/100 = 119,2.

Выборочная дисперсия:  =

= ((97 – 119,2)^2.3 + (103 – 119,2)^2.7 + (109 – 119,2)^2.11 +

+ (115 – 119,2)^2.20 + (121 – 119,2)^2.28 + (127 – 119,2)^2.19 +

+ (133 – 119,2)^2.10 + (139 – 119,2)^2.2)/99 = 87,48.

Стандартное отклонение:  = 9,35.

Найдем доверительный интервал для математического ожидания.

Пусть доверительная вероятность  = 0,95. Тогда по таблице Приложения находим, что если Ф(t) = 0,475 , то t = 1,96. Вычислим предельную ошибку  = 1,96^.9,35/10 = 1,833.

Таким образом, границы доверительного интервала 119,2 – 1,833 и 119,2 + 1,833, т.е. доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (117,367; 121,033).

Составим таблицу значений теоретического нормального закона

(таблица 7.3).

Таблица 7.3. Теоретическая плотность распределения вероятностей

Среднее значение
97	–2,37	0,0241	0,0026
103	–1,73	0,0893	0,0096
109	–1,09	0,2203	0,0236
115	–0,45	0,3605	0,0386
121	0,19	0,3918	0,0419
127	0,83	0,2827	0,0302
133	1,48	0,1334	0,0143
139	2,12	0,0422	0,0045

Построим гистограмму и кривую теоретического нормального распределения (рис. 1).

Из рисунка видно, что теоретическая нормальная кривая хорошо аппроксимирует статистический закон распределения.

Р ис. 1. Гистограмма и теоретическая кривая

Проверим согласованность статистического и выбранного теоретического распределения с помощью критерия ² .

Вычислим значения p_i (таблица 7.4).

Таблица 7.4. Расчет критерия ²

Границы интервалов (i , i+1)	Частота mi
94 – 100	3	Ф(-2,05) – Ф(-2,69) = 0,0166	1,082
100 – 106	7	Ф(-1,41) – Ф(-2,05) = 0,0592	0,197
106 – 112	11	Ф(-0,77) – Ф(-1,41) = 0,1413	0,693
112 – 118	20	Ф(-0,13) – Ф(-0,77) = 0,2284	0,353
118 – 124	28	Ф(0,51) – Ф(-0,13) = 0,2470	0,441
124 – 130	19	Ф(1,155) – Ф(0,51) = 0,180	0,055
130 – 136	10	Ф(1,797) – Ф(1,155) = 0,088	0,164
136 – 142	2	Ф(2,44) – Ф(1,797) = 0,0286	0,259
			 = 3,244

Вычислим статистику: = 3,244.

Подсчитаем число степеней свободы: r = 8 – 3 = 5.

Выбрав уровень значимости  = 0,05, в таблице (Приложение 3) найдем ²_кр(5; 0,05) = 11,1. Так как ² = 3,244 < 11,1 = ²_кр, то можно принять гипотезу о нормальном распределении, т. е. в данном случае полученный теоретический закон хорошо аппроксимирует статистическое распределение.

8. Оценка корреляционной зависимости между наблюдаемыми величинами

По данной корреляционной таблице (таблица 8.1.) найти коэффициент корреляции и выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.