2. Выборочный метод. Статистические оценки параметров генеральной совокупности
Генеральной совокупностью называется весь набор однородных объектов, изучаемых относительно некоторого качественного или количественного признака. Число всех изучаемых объектов N называется объемом генеральной совокупности.
Выборка – это та часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Число n вошедших в выборку элементов называется объемом выборки.
Одна из задач математической статистики – оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.
Статистические оценки бывают точечные (определяемые одним числом) и интервальные (определяемые двумя числами - концами интервала). Точечные оценки дают представление о величине соответствующего параметра, а интервальные характеризуют точность и достоверность оценки.
Для достоверности результатов точечная оценка должна быть несмещенной, состоятельной и эффективной. Этим условиям удовлетворяют следующие оценки:
для математического ожидания генеральной совокупности –
выборочное среднее
; (24)
для дисперсии генеральной совокупности –
выборочная дисперсия
;
(25)
для среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности –
стандартное отклонение
. (26)
При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при небольшом объеме выборки (чаще всего встречающемся на практике) пользуются интервальными оценками. Интервальная оценка – это оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала или доверительными границами.
Если – статистическая оценка параметра , то говорят, что оценка вычислена с точностью , если , (27)
то есть величина параметра попадает в интервал ( .
Статистические методы позволяют говорить только о вероятности выполнения неравенства (27), поэтому надежностью (доверительной вероятностью) оценки называется вероятность , с которой осуществляется это неравенство.
Интервал (, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью , называется доверительным интервалом.
Доверительную вероятность (надежность) берут обычно (в зависимости от важности оцениваемого признака) 0,95; 0,99; 0,999.
Чтобы оценить среднее значение некоторого количественного признака Х генеральной совокупности, строят доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью (надежностью) . Предположим, что признак Х распределен нормально. При этом возможны два случая.
Если среднее квадратичное отклонение известно, то по выборке объема n вычисляют среднее выборочное значение
,
а также определяют такое значение
аргумента t , что
.
Тогда доверительный интервал для
математического ожидания имеет вид
(28)Если среднее квадратичное отклонение неизвестно, то для построения доверительного интервала по выборке объема n вычисляют точечные оценки: - выборочное среднее; s – выборочное среднее квадратичное отклонение ( s =
).
Затем по справочной таблице значений
величины t
, связанной с распределением Стьюдента,
находят t
= t(, n). В
этом случае доверительный интервал
для математического ожидания имеет
вид
(29)
Замечание. Для выборок большого объема можно вместо формулы (29) использовать формулу (28).