1.2.6. Производная матрицы направляющих косинусов, определяющей ориентацию промежуточных систем координат

Рассмотрим три системы координат: СК_s, СК_m и СК_n. Связь между ними зададим схемой в форме графа:

Рис.1.4.

Из рис.4. и в соответствии с определением матриц направляющих косинусов (1.2) имеем

.

Продифференцируем выражение с учетом формулы (1.18)

Тогда имеем

Проведем преобразования и окончательно имеем формулу для определения производной матрицы направляющих косинусов, определяющей ориентацию промежуточных систем координат [2, 4]:

(1.19)

1.2.7. Сводная таблица основных формул матриц направляющих косинусов

Отметим очевидные, часто используемые соотношения, и представим их в виде справочной таблицы 1.6.

Таблица 1.6

Сводная таблица

№ формулы	Вид формулы	№ формулы в тексте
1		1.17
2		1.18
3	;	1.16
4		_
5		_
6		1.19
7	;	_
8	;	_
9		_

1.3. Методы графов в решении кинематических задач.

Одним из эффективных приемом решения задач, связанных с ориентацией подвижных объектов, является использование графов. При этом использование имеет два основных направления: построение связи между системами координат для формирования матричных уравнений, позволяющих решать задачи ориентации; использование элементарных графов ортогональных поворотов, для ускоренного вычисления или контроля вычислений необходимых проекций векторов угловых скоростей, линейных ускорений и т.п.

1.3.1. Схемы связи между системами координат

Принцип построения структурной схемы связей между системами координат состоит в следующем. В вершины графа помещаем системы координат, а на ребрах графа вводим информацию об используемых параметрах ориентации, например, направляющие косинусы в виде матрицы, последовательность ортогональных поворотов, конкретные параметры ориентации, например, кардановые углы (через которые выражены направляющие косинусы).

Такая схема связи систем координат между собой весьма компакта и информативна, что позволяет получать необходимые матричные соотношения между разными параметрами ориентации. Например, один из вариантов представления связи между системами координат показан на рис.1.5.

Рис. 1.5. Кинематическая схема связей между системами координат

Здесь

С_ij – матрицы направляющих косинусов, определяющих ориентацию одной системы координат относительно другой;

(k) или (231) – представлено условное обозначение номера оси, относительно которой совершен поворот или последовательности поворотов;

a_k – (k=1,2,3) углы поворота систем координат относительно соответствующих осей.

По структурной схеме, используя определение матриц направляющих косинусов, можно определить искомую матрицу следующим способом

(1.20)

Для проверки правильности соотношения (1.20) запишем его в расширенной форме, используя форму определения матриц (1.2):

Т.е. в правой части уравнения "прилежащие" системы координат должны быть одинаковыми.

После соответственного перемножения составляющих матриц искомая матрица направляющих косинусов для рассматриваемого примера примет вид:

;

где

(1.21)

Т.е. правило определения (произведения) матриц направляющих косинусов, задаваемых в форме Литвин-Седого, следующее: перемножаем матрицы , идя “справа налево” по структурной схеме; следует обратить внимание на то, что у перемножаемых матриц “внутренние” (“соседние”) индексы должны совпадать.