1.2. Направляющие косинусы

1.2.1. Обозначения векторов и матриц

Рассмотрим ортогональную систему координат СК_s, т.е. 0_s X_s Y_s Z_s. Направление осей системы зададим ортами . В силу ортогональности осей выполняются следующие соотношения:

где э – есть индекс, который равен:

0 – если индексы i=j;

1 – если чередование индексов i и j (и выбор индекса k) происходит по ходу часовой стрелки;

-1 – если чередование индексов i и j (и выбор индекса k) происходит против хода часовой стрелки.

Свойство ортогональности может быть задано через скалярное произведение соответствующих ортов:

Форма представления векторов.

Любой вектор (например, ) может быть представлен в двух основных формах:

• векторная форма:

• матричная форма:

Следует обратить внимание на то, что в литературе часто термин матрица-столбец заменяется словом вектор; но необходимо понимать, что авторы в данном случае (это понимается из контекста) не имели в виду векторную форму

представления.

Чт обы избежать путаницы, для обозначения вектора в векторной форме введен символ → (стрелка) над соответствующей буквой, а для обозначения вектора в матричной форме введен символ − (дефис); или вектор обозначается полужирной прописной буквой, например, .

1.2.2. Матрицы направляющих косинусов

Рассмотрим две системы координат (подвижную и неподвижную), введенные ранее СК_s и СК_m. Любой вектор может быть представлен в той или иной системе координат.

Тогда

Или

Или

Здесь

– есть орты систем координат СК_s и СК_m соответственно.

– есть проекции рассматриваемого вектора на соответствующие оси систем координат СК_s и СК_m соответственно.

Установим связь между этими двумя формами представления вектора

или . (1.1)

, (1.2)

(1.3)

– матрица направляющих косинусов, определяющая ориентацию системы координат СК_k относительно системы координат СК_r в форме Литвин-Седого [9].

При этом

,

т.е. есть косинус угла между соответствующими ортами.

Для исключения ошибки, слева и над матрицей можно проставить обозначение требуемых осей, как это показано в формулах (1.2, 1.3).

Следует обратить внимание на правило (порядок) записи – что и на каком месте стоит, т.к. в технической литературе существуют другие формы определения матриц направляющих косинусов, что влечет за собой и другие правила оперирования этими матрицами.

Из введенного обозначения следует

(1.5)

где индекс “T” обозначает операцию транспонирования матрицы. Т.о. ”обрат-ному” повороту подвижного объекта соответствует транспонированная матрица.

Из матричного исчисления известно, что если имеем

,

то . При этом из (1.5) следует, что

. (1.6)

т.е. обратная матрица равна транспонированной; это следствие ортогонального способа задания ориентации систем координат, а матрица направляющих косинусов обладает свойством ортогональности. Следовательно

.

Здесь – единичная матрица размера 3x3.

Заметим, что формулы 1.14 можно записать [1, 8] через элементы матрицы С_ms в следующем виде

; (1.7)

и . (1.8)

Три уравнения (1.7) определяют – условия масштабирования; а три уравнения (1.8) – условия ортогональности.

Из ортогональности матриц направляющих косинусов следует следующее свойство для выражения одного из направляющих косинусов через другие.

Запишем матрицы

;

выражение для ее определителя по элементам первой строки, используя алгебраические дополнения миноров:

Следовательно, имеем

(1.9)

Здесь - алгебраические дополнения миноров. Т.е. имеем следующие соотношения, позволяющие выразить направляющий косинус через другие направляющие косинусы данной матрицы:

(1.10)