1Параметры угловой ориентации подвижного объекта
1.1. Углы ортогональных поворотов.
Будем рассматривать ортогональные системы координат. Ориентацию системы координат, связанную с ПО, относительно некоторой опорной (исходной) системы координат можно задать углами последовательных поворотов относительно осей ортогональной системы координат. Минимальное количество таких углов для задания углового положения ПО – три. В дальнейшем будем называть такие углы – углы ортогональных поворотов (УОП). Ориентацию ПО часто задают в виде кинематического рисунка, например, так как показано на рис.1.1.
Рис.1.1. Кинематический рисунок последовательности поворотов (312)
Остановимся на понятии номера оси. Например, используя систему координат XYZ, под номером 1 понимаем ось X, под номером 2 – Y, под номером 3 – ось Z.
Однако расположить оси системы координат на ПО можно по другому; например, вводим систему координат X1Y1Z1, оси которой находятся в следующем соответствии с сиcтемой координат XYZ: ось X1 параллельна оси Y, ось Y1 параллельна оси Z, ось Z1 параллельна оси X.
Очевидно, что для задания угловой ориентации ПО возможны двенадцать вариантов последовательностей поворотов, представленных в Табл.1.1.
Таблица 1.1
Варианты последовательностей ортогональных поворотов
-
№ варианта
Последовательность углов поворотов
Условное обозначение варианта
Классы поворотов
1
α1→ α2→α3
123
I
2
α1→ α3→α2
132
II
3
α2→ α1→α3
213
II
4
α2→ α3→α1
231
I
5
α3→ α1→α2
312
I
6
α3→ α2→α1
321
II
7
α1→ α2→α1
121
III
8
α1→ α3→α1
131
IV
9
α2→ α1→α2
212
IV
10
α2→ α3→α2
232
III
11
α3→ α1→α3
313
III
12
α3→ α2→α3
323
IV
Тогда последовательности поворотов, например, 123 в системе координат XYZ, в системе координат X1Y1Z1 будет соответствовать 231. Таким образом, следуя [1], можно выделить четыре группы эквивалентных последовательностей поворотов (см. Табл.1.).
Углы группы III часто в литературе [1, 4, 5, 8] называют углами Эйлера, а углы группы I – углами Крылова или углами Крылова-Булгакова.
В качестве примера использования УОП приведем задание ориентации самолета.
Рис.1.2. Углы ориентации самолета
Используемые углы ориентации называются углами курса, тангажа и крена, и соответствуют последовательности поворотов 231.
Для компактного представления поворотов и связи между системами координат – широко используются схемы в виде направленного графа; в вершинах графа располагаются системы координат (или оси систем), а на ребрах графа выносится информация о последовательности поворотов и об используемых углах поворота. Например, для задания ориентации самолета (см. рис.1.2.) схема связи между системами координат (схема задания УОП) примет вид, представленный на рис.1.3.
Следует отметить, что в ряде случае при использовании УОП нет однозначного определения положения тела по значениям углов поворота.
Например, в варианте углов Эйлера (232 - α1–α2–α3) при значении угла α2 = 0 имеет место α1+ α3 = const; т.е. множеству значений α1 и α3 соответствует
одно положение твердого тела.
Рис.1.3. Схема задания УОП для самолета.
Этот факт является общим для углов ортогональных поворотов, что заставляет искать другие способы задания положения твердого тела, не имеющих указанных вырождений. В качестве таких параметров наиболее часто используются направляющие косинусы и кватернионы.