Рівномірна неперервність

Означення. Функція називається рівномірно неперервною на відрізку , якщо .

У цьому випадку залежить тільки від і не залежить від вибору , згодиться .

Побудуємо заперечення рівномірної неперервності. , (або множині ) такі, що хоча .

Приклад 1. на . . Шукаємо .

.

Беремо

знайшли . - рівномірно неперервна на .

Приклад 2. на . . Шукати не будемо.

Візьмемо , , при цьому ,

А відстань можна зробити менше для .

Рівномірної неперервності для на немає.

Однак, чудово те, що в замкненому проміжку такого бути не може.

Теорема Кантора. Якщо функція неперервна на відрізку, то вона рівномірно неперервна на ньому.

Зразки контрольних робіт.

Контрольна робота №2

1. Записати на мові та намалювати ескіз графіка: а)  ; б)  .

2. Дослідити на неперервність та вказати характер точок розриву;

а)  ; б)  .

3. Знайти границі: а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  ; ж)  ; з)  .

Варіанти індивідуального завдання

Индивидуальное задание № 2 «Предел последовательности и функции»

Задание № 1

1. 1) Доказать, что для всех n Ν выполнено .

Найти все n Ν, для которых выполнено + ε, где ε равно: а) 1/6, б) 1/10, в) ½ (2k+1), k Ν.

2) Доказать, что выполнено .

2. 1) Для каждого данного ε указать такое N, что выполнено < ε

для любого n ≥ Ν, и заполнить таблицу

ε	1	0,2	10-2	10-4
N

2) Доказать, что

3. 1) Для последовательности заполнить таблицу

ε	10	0,5	0,03	3·10-4	7·10-10
N

указав для каждого данного ε такое натуральное N, что < ε для любого n ≥ Ν, если .

2) Доказать, что .

4. Доказать, что последовательность {1/ } бесконечно малая. Для каждого данного ε указать такое натуральное N, что 1/ < ε для любого n ≥ Ν, и заполнить таблицу:

   ε	10	1	0,1	0,01
   N

5. Доказать, что последовательность имеет бесконечный предел при (т. е. является бесконечно большой), определив для всякого E>0 N = N (E) такое, что >Е при n > N, и заполнить следующую таблицу:

Е	10	100	1000	10000	…
N

Задание № 2

1. Доказать, что - бесконечно малая последовательность, если: .

2. Доказать, что - бесконечно малая последовательность, если:

3. Доказать, что последовательность расходится, если: .

4. Доказать, что последовательность расходится, если:

5. Доказать, что последовательность расходится, если:

Задание № 3

1. Доказать, что .

2. Доказать, что где p ≥ 1.

3. Доказать, что .

4. Доказать, что .

5. Доказать, что , где а >1, p ≥ 1.

Задание № 4

1. Для последовательности найти множество частичных пределов, ,

2. Для последовательности найти множество частичных пределов, , .

3. Для последовательности найти множество частичных пределов , .

4. Для последовательности найти множество частичных пределов , .

5. Найти множество частичных пределов последовательности:

Задание № 5

1. Для последовательности найти множество частичных пределов , , , .

2. Для последовательности найти множество частичных пределов , , , .

3. Для последовательности найти множество частичных пределов , , ,

4. Для последовательности найти , , а также ,

5. Для последовательности найти , , а также ,

Задание № 6

1. Найти

2. Найти

3. Найти

4. Найти

5. Найти

Задание № 7

1. Найти

2. Найти

3. Найти

4. Найти

5. Найти

Задание № 8

1. Найти

2. Найти

3. Найти

4. Найти

5. Найти

Задание № 9

1. Найти

2. Найти

3. Найти

4. Найти

5. Найти

Задание № 10

1. Найти

2. Найти

3. Найти

4. Найти

5. Найти

Задание № 11

1. Для функции заполнить таблицу

	0,9	0,5	0,1	0,01	-0,9	-0,5	-0,1	-0,01

указав для данного приращения соответствующее приращение функции ; построить график функции f и указать на нём точки, соответствующие и :

2. Для функции заполнить таблицу

	0,9	0,5	0,1	0,01	-0,9	-0,5	-0,1	-0,01

указав для данного приращения соответствующее приращение функции ; построить график функции f и указать на нём точки, соответствующие и :

3. Для функции заполнить таблицу

	0,9	0,5	0,1	0,01	-0,9	-0,5	-0,1	-0,01

указав для данного приращения соответствующее приращение функции ; построить график функции f и указать на нём точки, соответствующие и :

4. Для функции заполнить таблицу

	0,9	0,5	0,1	0,01	-0,9	-0,5	-0,1	-0,01

указав для данного приращения соответствующее приращение функции ; построить график функции f и указать на нём точки, соответствующие и :

5. Для функции заполнить таблицу, указав для каждого значения наибольшее значение так, чтобы для любого из неравенства следовало неравенство :

	0	1/16	1/4	25/81	1	4

Задание № 12

1. Найти: а) ; б) : , .

2. Найти: а) ; б) : , .

3. Найти: а) ; б) : , .

4. Найти: а) ; б) : , .

5. Найти: а) ; б) : .

Задание № 13

1. Найти и , если: .

2. Найти и , если: .

3. Найти и , если: .

4. Найти и , если: .

5. Найти и , если: .

Задание № 14

1. Пользуясь определением, доказать: .

2. Пользуясь определением, доказать: .

3. Пользуясь определением, доказать: .

4. Пользуясь определением, доказать: .

5. Пользуясь определением, доказать: .

Задание № 15

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 16

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 17

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции:

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 18

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 19

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 20

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 21

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 22

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 23

1. Найти: а) ; б) : .

2. Найти: а) ; б) : .

3. Найти предел функции: .

4. Найти: а) ; б) : .

5. Найти: а) ; б) : .

Задание № 24

1. Найти предел функции: , a >0.

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 25

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 26

1. Найти предел функции: .

2. Найти предел функции: .

3. Найти предел функции: .

4. Найти предел функции: .

5. Найти предел функции: .

Задание № 27

1. Найдите точки разрыва функции, установите их род, найдите скачки в точках разрыва 1-го рода: .

2. Найдите точки разрыва функции, установите их род, найдите скачки в точках разрыва 1-го рода: .

3. Найдите точки разрыва функции, установите их род, найдите скачки в точках разрыва 1-го рода: .

4. Найдите точки разрыва функции, установите их род, найдите скачки в точках разрыва 1-го рода: .

5. Найдите точки разрыва функции, установите их род, найдите скачки в точках разрыва 1-го рода: .

Задание № 28

1. Найдите точки разрыва функции, установите их род, доопределите функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва: .

2. Найдите точки разрыва функции, установите их род, доопределите функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва: .

3. Найдите точки разрыва функции, установите их род, доопределите функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва: .

4. Найдите точки разрыва функции, установите их род, доопределите функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва: .

5. Найдите точки разрыва функции, установите их род, доопределите функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва: .

Задание № 29

1. При каком значении а функция будет непрерывна.

2. При каком значении а функция будет непрерывна.

3. При каком значении а функция будет непрерывна.

4. При каком значении а функция будет непрерывна.

5. При каком значении а функция будет непрерывна.

Задание № 30

1. Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти её точки разрыва, установить их род, нарисовать график функции:

2. Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти её точки разрыва, установить их род, нарисовать график функции:

3. Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти её точки разрыва, установить их род, нарисовать график функции:

4. Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти её точки разрыва, установить их род, нарисовать график функции:

5. Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти её точки разрыва, установить их род, нарисовать график функции:

Задание № 31

1. Для ε > 0 найти (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции на данном промежутке, если:

2. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве Х, если:

3. Для ε > 0 найти (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции на данном промежутке, если:

4. Доказать, что функция f равномерно непрерывна на множестве Х, если:

5. Для ε > 0 найти (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции на данном промежутке, если:

Задание № 33

1. Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

2. Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

3. Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

4. Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

5. Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию