§ 7. Значення деяких границь

№58. №59. №60 ( )

№61 №62. , №63. ( )

№64 ( ) № 65. № 66. .

Границя функції

Означення. Інтервал вигляду або називається - околом точки , та позначається , або .

Проколеним околом точки називається окіл точки , із якого викинута сама точка. Позначається .

Околом " " називається будь-який напівнескінченний проміжок (промінь) вигляду .

Околом " " називається будь-який промінь вигляду .

Околом " " називається об'єднання двох околів та .

Означення. Точка називається граничною точкою множини , якщо в будь-якому околі точки знайдеться точка така, що .

З начення границі функції пояснимо на графіку.

При наближенні до значення функції прямують до .

при .

Означення можна дати як мовою послідовності, так і мовою околів.

Нехай точка є граничною точкою . Нехай функція визначена в деякому околі точці , окрім, може бути, самої цієї точки, тобто в .

Def (за Гейне). Число називається границею функції при , якщо виконане .

Def (за Коши). Число називається границею функції при , якщо для будь-якого як завгодно малого, наперед заданого існує таке , що для всіх таких, що виконується нерівність . Або символами

.

(lim - скорочене слово limit ‑ границя).

Теорема (про рівносильність двох означень границі). Якщо функція має границю в точці за означенням Коши, то вона має границю й за означенням Гейне і навпаки.

Границя, яку ми розглядали за допомогою двобічного околу, називається двобічною.

Можливі, однак, однобічні границі.

При цьому, - ліва границя; - права границя.

У першому випадку ;

У другому .

Завдання для самостійного розв’язання. Для того щоб мала в точці двобічну границю, необхідно й достатньо, щоб вона мала в цій точці праву й ліву границі й вони були рівні.

Нескінченно малі функції

Означення. Функція називається нескінченно малою функцією (н.м.), або просто нескінченно малою при , якщо .

Н.м. функції мають важливу роль (як і н.м. послідовності). Це пов'язане з тим, що загальне поняття границі може бути зведеним до поняття н.м.

Властивість 1. Границя функції в точці й дорівнює числу тоді й тільки тоді, коли функція може бути представленою у вигляді , де - н.м. при .

Властивість 2. Сума двох н.м. функцій при є н.м.

, - н.м. - н.м.

Властивість 3. Добуток двох н.м. функцій при є н.м. функція.

, - н.м. - н.м.

Зауваження. Властивості 2 і 3 справедливі для скінченої кількості доданків (множників).

Властивість 4. Добуток н.м. функції на обмежену при є функція н.м.

Означення. Функція називається н.в. при , якщо , тобто якщо .

Властивість 5. Функція ( , ) є н.м. при тоді й тільки тоді, коли є н.в.

За аналогією зі скінченими однобічними границями, впровадимо означення й однобічних нескінчених границь.

.

Нескінченності додатна та від'ємна - це не числа, їх можна додати до множини дійсних чисел як нові елементи . Після цього числова пряма перетворюється в так називану розширену пряму.