Нүкте ќозѓалысының берілу әдістері
1. Векторлыќ әдіс
Нүктеніњ кеңістіктегі орны оның белгілі бір козѓалмайтын центрге ќараѓандаѓы радиус-векторы деп аталатын бір ѓана векторлыќ шамамен бір мәнді аныќталады.
Кез
келген
нүктесініњ кеңістіктегі ќозѓалысын
зерттеу үшін т±раќты
центрін таңдап алсаќ (1-сурет),
векторы М
нүктесінің
сол центрге ќараѓандаѓы радиус-векторы
болады. Қозѓалыс кезінде радиус-вектордын,
баѓыты да, шамасы да өзгеріп отырады,
ал әрбір уаќыт кезеңінде оның белгілі
бір бағыты мен шамасы болады. Яғни
радиус-вектор уаќыттын
вектор-функциясы
болады.
1-сурет.
(1)
Бұл
теңдік
нүктесі ќозѓалысының векторлыќ теңдеуі
деп аталады. Егер радиус-вектор тұраќты
болса, онда нүкте тыныштыќта тұрғаны.
Векторлыќ теңдеу (1) белгілі болса, нүкте ќозѓалысы векторлык әдіспен берілген дейміз. Бұл теңдеуден нүкте ќозѓалысының барлык, кинематикалыќ характеристикаларын табуға, яғни ќозѓалысты толык зерттеуге болады.
Уакыт
өткен сайын қозғалушы
нүктесімен біртіндеп дәл келіп отыратын
кеңістік нүктелерінің геометриялыќ
орнын (
кисыѓьш)
сол нүктенің траекториясы (ізі) деп
атайды.
Бастапкы
нуктесі бекітілген айнымалы вектордыњ
сонѓы нүктесінін кеңістікте сызатын
сызыѓы сол вектордын годографы деп
аталады. Мысалы,
ќисыѓы—
векторынын годографы. Сонымен, козѓалушы
нүктенін траекториясы оның радиус-векторының
годографы болады. Траекториясының
түріне ќарай қозғалыс түзу сызыќты және
қисык сызыкты болып бөлінеді. Алдыңғысы
соңғының жеке түрі болғандықтан біз
көбіне қисык сызықты ќозѓалысты
зерттейміз. Қисык сызыкты козѓалыс
туралы айтылѓан барлык заңдылыќтар
түзу сызыкты қозғалыс үшін калтќысыз
орындалады.
Ќозѓалушы
нүктесініњ кеністіктегі бастапкы (
болғандағы)
және
«кез келген
уаќыт
кезеңіндегі
орындарынын траектория бойымен
есептегендегі ара қашыќтығын (
доғасының ұзындығы) оның
уакыт ішіндегі жолы деп атап,
арќылы
белгілейміз,
векторын
нүктесінің
уақыт ішіндегі орынауыстыруы дейміз.
Оның шамасын
кейде қашықтык деп атайды. Жол мен
қашықтык уақыттың теріс емес, үздіксіз
функциялары.
Қозғалушы
нүктесінің кез келген
уаќыт
кезеңіндегі орны
радиус-векторымен,
ал келесі
уаќыт
кезеңіндегі
орны
радиус-векторымен
анықталсын делік. Сонда
нүктесінің элементар
уаќыт
ішіндегі орынауыстыруы мынадай болады:
(2)
Осы вектордың сәйкес уаќыт үсімшесіне катынасы, яѓни
(3)
нүктесінің
сол уакыт ішіндегі орташа жылдамдыѓы
деп аталады. Орташа жылдамдықтың
нольге
ұмтылѓандағы
нүктесінің
уаќыт кезеңіндегі сызықтық жылдамдығы
деп аталады,
(4)
Сонымен, нүктеніњ кез келген уаќыт кезеңіндегі (лездік) жылдамдыѓы оның радиус-векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең болады.
Жоғарыда
айтылѓан шектің өруаќытта болатыны
сезсіз, үиткені қозғалыс дегеніміз
негізінде үздіксіз ќұбылыс. Сондыќтан
траектория үздіксіз қисыќ, ал оны
өрнектейтін функциялар да (векторлыќ,
скалярлыќ) үздіксіз болуға тиіс. Яғни
шексіз аз
уаќытта қозғалушы нүкте шексіз аз
жол, оѓан сәйкес шексіз аз
ќашыќтыќ өтеді, демек
уаќыт
ішінде
,
.
Орташа жылдамдық (2) және (3) теңдіктеріне
сәйкес траекторияныњ
ќиюшысының
бойымен ќозғалыстың бағытына ќарай
бағытталады. Ал
нүктесі траекторияның бойымен
нүктесіне ұмтылѓанда (
-да)
қиюшысы
траекторияның
нүктесіндегі жанамасына ұмтылады. Олай
болса қозғалушы нүктенін жылдамдыѓы
сол нүктеде траекторияѓа жүргізілген
жанаманың бойымен ќозғалыстың бағытына
ќарай бағытталады. Егер
нүктесіндегі
жанаманың бірлік векторын
арқылы белгілесек, онда
(5)
Енді
екенін-ескерсек, онда жылдамдықтың
абсолют шамасы мынадай болады:
(6)
Жолдан
уаќыт бойынша алынѓан бірінші туындыѓа
тен, бұл шама
нүктесінің жылдамдығы болады. Жол
уаќыттың монотонд өсетін (
),
кемінде екі рет дифференциалданатын
функциясы болып табылады.
Жылдамдығы
тұраќты (
)
қозғалыс біркалыпты қозғалыс деп
аталады. Мұндай қозғалыстағы нүктенін,
кез келген уақыттағы жолы (6) теңдеуінен
алынады:
(7)
Мұндағы
—
нүктенің бастапқы жолы. Жолды есептеудің
бас нүктесі ретінде нүктенің бастапқы
оркын ќабылдасаќ,
болады.
Мысал.
Бойының биіктігі
-ге
тењ адам тұраќты
жылдамдыќпен
биіктікте ілулі тұрған шамның астынан
өтіп бара жатыр (2-сурет). Оның
көлеңкесінің ұшы
жер
бетіімен ќандай
жылдамдыќпен
қозғалатынын анықтау керек.
2-сурет. 3-сурет.
Ш
е ш у і. Адамның және оның, көлеңкесінің
бастапқы орындары
нүктесінде болды (
=0
болѓанда,
=
=0
болады) десек,
және
ұшбұрыштарының
ұќсастығынан алатынымыз:
немесе
Бұл тендіктен уаќыт бойынша туынды алсаќ табатынымыз:
Адам да, оның көлеңкесшін барлық. нүктелері де бірқалыпты түзу сызықты ќозѓалыста болғаны.
Жалпы,
қозғалыс кезінде жылдамдыќ шамасын да,
бағытын да өзгертіп отырады. Айталык,
уаќыт
кезендерінде
ќозѓалушы
нүкте сәйкес
орындарында
болып,
жылдамдыќтармен
қозғалсын (3-сурет).
Полюс
деп аталатын кез келген
нүктесіне (4-сурет) өздеріне өздері
параллель көшірілген жалғас уаќыт
кезеңдеріндегі жылдамдық векторларының
ұштарының кеңістіктегі геометриялыќ
орны жылдамдыќ векторыныњ годографы
деп аталады.
Жеке
уақыт кезеңдерінің (
)
сандары көбейіп, олардың аралықтарындаѓы
уақыт кесінділерінің шамалары азайған
сайын годограф дәлірек сызылады.
4-сурет. 5-сурет.
Егер
қозғалушы нукте (5-сурет) кез келген
уақыт ішінде
жылдамдықпен,
келесі
уақыт ішінде
жылдамдықпен
қозғалды десек, онда жылдамдықтың
уақыт
аралығындағы Δ
өсімшесінің сол уақытқа қатынасы
(8)
нүктесінің уаќыттаѓы орташа үдеуі деп аталады.
Орташа
үдеу жылдамдық годографының
,
нүктелері
арқылы жүргізілген қиюшысының (хордасыныњ)
бойымен жылдамдыќтың өзгеру бағытына
ќарай бағытталады.
Орташа
үдеудің
нольге
ұмтылғандағы (жылдамдық годографы
бойымен
нүктесі
нүктесіне ұмтылѓандаѓы) шегі
нүктесінің
үдеуі (сызыќтыќ үдеуі) деп аталып,
арқылы
белгіленеді.
Сонымен,
(9)
яғни нүктенің кез келген уақыт кезеңіндегі үдеуі оның жылдамдығынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыѓа тең, демек, үдеу жылдамдыќтың уақыт өтуіне байланысты өзгеруін сипаттайды.
Қозғалушы
нүктесінің үдеуі жылдамдық годографына
сол нүктеге сәйкес
нүктесінде жүргізілген жанаманыњ
бойымен жылдамдыќтыњ µзгеру баѓытына
(траекторияныњ ойыс жаѓына) ќарай
баѓытталады.
‡деу жылдамдыќ годографын сызатын нүктеніњ жылдамдығы болады. Егер (4) теңдікті ескерсек алатынымыз:
(10)
Яғни қозғалушы нүктеніњ үдеуі сол нүктенің радиус-векторынан уақыт бойынша алынған екінші туындыѓа тең.