Задача № 3 Расчет на прочность и жесткость статически неопределимого ступенчатого стержня

Исходные данные:

А₁ = 10 см²; А₂ = 12 см²; А₃ = 6 см²; σ_adm = 210 МПа; Е= 2·10⁵ МПа.

Δ_adm = 0,1∙10^-3 м – допускаемые перемещения стержня; остальные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 3.14.

Задание.

1 Раскрыть статическую неопределимость.

2 Построить эпюры продольных сил N_Z, нормальных напряжений σ и перемещений Δl.

3 Оценить прочность ступенчатого стержня.

4 Оценить жёсткость ступенчатого стержня.

Рисунок 3.14

Решение

1 Раскрытие статической неопределимости:

а) Статическая сторона задачи

ΣF_i(z) = R_А + F₁ – F₃ – R_В = 0 =>

n = 2 – 1 = 1 – система один раз статически неопределима.

б) Геометрическая сторона задачи.

Отбросив одну опору и заменив ее действие неизвестной опорной реакцией, тогда получим, что суммарная деформация стержня от действия нагрузок будет равна

Δl_{суммарное} = Δl_Ra + Δl_F1 - Δl_F3 = 0.

(При наличии зазора Δ - l_{суммарное} = Δl_Ra + Δl_F1 - Δl_F3 = Δ).

в) Физическая сторона задачи

- деформация стержня от действия R_A,

- деформация стержня от действия F₃,

- деформация стержня от действия F₁.

Решая совместно все три стороны задачи, получим

.

Отбросив другую опору и заменив ее действие неизвестной опорной реакцией, получим

.

Меняем направление опорной реакции R_В. Проверка: 33,6 + 6,4 + 80 – 120 = 0.

Пункты 2 – 4 решать аналогично пунктам 1 – 3 задачи 3.2.

Задача № 4 Расчет на прочность и жесткость вала

Исходные данные: τ_adm= 80 МПа, , G = 0,8∙10⁵ МПа, остальные данные представлены на рисунке 3.15.

Задание.

1 Построить эпюру M_z.

2 Подобрать сечение трубчатого вала.

3 Построить эпюры углов закручивания вала.

Рисунок 3.15

Решение.

1 Вычислить реактивный крутящий момент M_A в защемлении.

Выбираем главные оси «у» и «z». В защемлении от крутящих моментов возникает только один крутящий момент M_A.

Для его вычисления представим уравнение равновесия в виде суммы крутящих моментов относительно оси «z», т.е. .

Отсюда .

Действительное вращение момента М_А совпадает с его направлением на рисунке 3.15.

2 Вычислить и построить эпюру крутящих моментов M_Z.

При вычислении M_Z применяется метод сечений. Вал по длине имеет три участка, правило знаков крутящего момента смотреть в таблице 2.1.

Участок I: 0 ≤ z₁ ≤ 0,3 м, обход участка слева направо.

M_Z = M_A = 16 кН∙м.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 0,4 м, обход участка слева направо.

M_Z2 = M_A - 5T = 2T - 5T = - 3T = - 24 кН∙м.

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 0,5 м, обход участка справа налево.

M_Z3 = - T = - 8 кН∙м.

Строим эпюру M_Z в соответствии с расчетом. Положительное значение M_Z откладывается вверх от нулевой линии, а отрицательное - вниз от нулевой линии.

Проверка построения эпюры M_Z.

Эпюра крутящих моментов должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены сосредоточенные крутящие моменты (у нас в примере – M_A, T, 2T, 5T). Скачки по модулю, должны быть равны, значениям сосредоточенных моментов, приложенных в соответствующих сечениях.

В нашем примере это правило выполняется.

3 Подобрать размеры поперечного сечения трубчатого вала.

Размеры вала подбираются из условия прочности

,

где максимальный крутящий момент, взятый по модулю (взять из эпюры M_Z);

- допускаемое напряжение;

- полярный момент сопротивления.

Из условия прочность получаем

.

Окончательно имеем - наружный диаметр трубчатого вала D = 0,136 м, внутренний диаметр вала d = α D = 0,8∙0,136 = 0,11 м.

4 Построить эпюры углов закручивания сечений вала относительно защемления А.

Углы закручивания определяются по формуле

,

где l – длина участка вала;

G = 0,8∙10⁵ МПа – модуль сдвига стали;

- полярный момент инерции кольцевого сечения.

Вычисляем углы закручивания.

Участок I: угол закручивания в заделке .

Угол закручивания сечения B относительно сечения A равен

.

Строим эпюру «φ» углов на первом участке по двум значениям.

Участок II: угол закручивания сечения C относительно заделки A равен

,

.

Строим эпюру γ на втором участке.

Участок III

,

.

Строим эпюру φ на третьем участке.

Задача № 5 Расчет на прочность и жесткость при поперечном изгибе балки

Исходные данные σ_adm(сталь) = 160 МПа; σ_adm(дерево) = 5 МПа;

τ_adm(сталь) = 80 МПа; ; , остальные данные приведены на рисунке 3.16.

Задание

1 Вычислить и построить эпюру поперечных сил Q_y и эпюру изгибающих моментов M_x.

2 Подобрать размеры сечений:

а) Подобрать номер швеллера;

б) Подобрать номер двутавра;

в) Подобрать размер стальной трубчатой балки при ;

г) Подобрать размер деревянной балки прямоугольного сечения при .

3 Провести полную проверку двутавровой балки на прочность по III теории прочности.

4 Вычислить прогиб в середине пролета и изобразить изогнутую ось балки

Решение

1 Вычислить реакции опор R_A и R_B.

Выбираем главные оси «у» и «z». Для вычисления реакции R_A составляем уравнение равновесия в виде суммы момента внешних сил относительно опоры В, т.е. .

Отсюда .

Реакция R_A в действительности направлена вверх.

Для вычисления реакции R_B составляется уравнение равновесия в виде суммы моментов внешних сил относительно опоры А, т.е. .

Отсюда .

Реакция R_B в действительности направлена вверх.

Проверка вычисления реакций.

Для проверки составляется уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось Y, т.е. = R_A + R_B – F - q∙4 = 12,5+11,5-12-3∙4=0.

Проверка выполняется.

Рисунок 3.16

Вычислить и построить эпюру поперечных сил Q_y и эпюру изгибающих моментов M_x.

При вычислении ВСФ используется метод сечения. Балка по длине имеет три участка. Правило знаков Q_y и M_x смотреть в таблице 2.1.

Участок I: 0 ≤ z ₁≤ 4 м, обход слева направо.

	z1 = 0	RA = 12,5 кН.
	z2 = 4 м	12,5 - 3∙4 = 0,5 кН.

- наклонная

прямая.

Строим эпюру Q_y по двум точкам. Положительные значения Q_y откладываются вверх от нулевой линии, а отрицательные – вниз от нулевой линии.

	z1 = 0	0
	z1 = 4 м

- уравнение квадратной параболы направлена вогнутостью навстречу нагрузке «q».

Экстремальное значение M_x отсутствует, так как на этом участке нет нулевого значения поперечной силы Q_y.

Положительные значения M_x откладываются вниз от нулевой линии, отрицательные – вверх от нулевой линии.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 5 м, обход слева направо.

Q_y = R_A - q∙4 = 12,5 – 12 = 0,5 кН – прямая параллельная нулевой линии.

Mx = RA(4 + z2) - q∙4(2 + z2) =	z2 = 0	12,5∙4 - 24 = 26 кН
	z2 = 5 м	12,5∙9 - 3∙4∙(2 + 5) = 28,5 кН∙м

- наклонная прямая.

Строим эпюры Q_y и M_x в соответствии с расчетом.

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 3 м, обход справа налево.

Q_y = - R_B = - 11,5 кН – прямая параллельная нулевой линии.

Mx = RB∙z3 – M =	z2 = 0	- M = - 6 кН.
	z2 = 3 м	11,5∙3 – 6 = 28,5 кН∙м

- наклонная

прямая.

Строим эпюры Q_y и M_x в соответствии с расчетом.

Проверка построения эпюры Q_y и эпюры M_x.

Эпюра поперечных сил Q_y должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены сосредоточенные поперечные силы (в нашем случае - R_A, R_B, F). Эти скачки по модулю должны быть равны значениям сосредоточенных сил, приложенных в соответствующих сечениях.

Это правило в нашем примере выполняется.

Эпюра изгибающих моментов M_x должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены сосредоточенные моменты (в нашем случае - момент M на опоре B). Эти скачки по модулю должны быть равны значениям сосредоточенных моментов, приложенных в соответствующих сечениях.

Это правило в нашем примере выполняется.

На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра сил Q_y – наклонная прямая, а эпюра изгибающих моментов M_x – квадратная парабола, направленная вогнутостью навстречу нагрузке q. Если на этом участке нет нулевого значения силы Q_y, то эпюра M_x в этом сечении не должна иметь экстремального значения, т.е. не должна иметь «вершину».

Это правило в примере выполняется.

2 Размеры сечения подбираются из условия прочности

,

где M_х^max – максимальное значение по модулю изгибающего момента на эпюре M_х;

W_x - осевой момент сопротивления балки;

σ_adm – допускаемое напряжение.

Из условия прочности получаем формулу для определения размеров сечения балки

.

а) Подобрать номер двутавра.

.

По сортаменту прокатной стали (ГОСТ 8239-89) подбираем двутавр № 20, у которого = 184 см . Можно применить другой стандарт.

Вычислим максимальное напряжение

= .

Недонапряжение составляет .

б) Подобрать номер швеллера.

По сортаменту прокатной стали (ГОСТ 8239-89) подбираем швеллер №22, у которого = 192 см .

Вычислим максимальное действующее напряжение

= .

Недонапряжение составляет .

Выбираем швеллер № 20 = 152 см .

Максимальное напряжение равно

= .

Перенапряжение составляет .

Выбираем швеллер № 22 = 192 см .

Максимальное напряжение равно

= .

Недонапряжение составляет .

Окончательно принимаем швеллер № 22.

в) Подобрать размеры поперечного сечения стальной трубчатой балки.

Так как для трубы , то наружный диаметр трубы равен

.

Внутренний диаметр трубы равен , где (см. условие задачи), м.

Затем по стандарту уточняются размеры поперечного сечения трубы.

г) Подобрать размер деревянной балки прямоугольного сечения.

Так как для прямоугольника , то высота сечения

.

В нашем примере по условию задачи , то ширина сечения .

3 Провести полную проверку двутавровой балки на прочность по III теории прочности.

Касательные напряжения считаются по формуле Журавского

,

где Q_y - поперечная сила;

I_x , b_y - соответственно осевой момент инерции относительно оси «х», ширина слоя сечения в том месте, где находится исследуемая точка;

S_x^отс = A^отс∙y_c - статический момент отсечённой площади сечения;

A^отс – отсеченная площадь сечения;

y_c - координата центра тяжести отсечённой площади сечения.

Опасное сечение: Q_y = 11,5 кН и M_x = 28,5кНм.

Условие прочности по III теории прочности имеет вид

.

Геометрические характеристики двутавра № 20, см. рисунок 3.17:

h = 20 см, b = 10 см, t = 0,84 см, d = 0,52 см,

I_x = 1840 см , S_x = 104 см³, W_x = 184 см³.

Для точки 1 .

Для точки 2

.

- статический момент отсечённой части сечения выше слоя точки 2 относительно оси х;

При

.

При b(y) = d = 0,52 см

.

Определяем эквивалентное напряжение для точки 2:

.

Для точки 3: ,

где .

.

Эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте сечения двутавра имеют вид (см. рисунок 3.17).

Рисунок 3.17