3.3 Образцы решения расчетно-графических работ «Расчеты на прочность при растяжении и сжатии, кручении и при плоском изгибе» Задача № 1 Расчет на прочность при растяжении и сжатии
Исходные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 3.12.
Задание.
1 Построить эпюру Nz.
2 Подобрать размеры сечений:
а) круглое сечение;
б)
прямоугольное сечение (
).
3 Построить эпюру перемещения Δl.
Решение
1 Вычислить реакции опор HA.
Выбираем главные оси «у» и «z».
Для
вычисления реакции HA
составляем сумму всех внешних сил на
ось z,
т.е.
.
Вычисляем
,
тсюда
.
Реакция HA на рисунке 3.12 направлена правильно.
2 Вычислить и построить эпюру продольных сил NZ.
Для вычисления усилия NZ применяется метод сечения. Стержень по длине имеет три участка. Знаки NZ смотреть в таблице 2.1 «Правила знаков ВСФ».
Рисунок 3.12
Участок I: 0 ≤ z1 ≤ 0,3 м, обход слева направо.
NZ1 = HА = 12 кН (растяжение).
Участок II: 0 ≤ z2 ≤ 0,4 м, обход слева направо.
NZ2 = HA - 5F = 3F - 5F = - 2F = - 8 кН (сжатие).
Участок III: 0 ≤ z2 ≤ 0,2 м, обход слева направо.
NZ3 = HA - 5F + F = 3F - 5F + F= - F = - 4 кН (сжатие).
Строится эпюра NZ в соответствии с расчетом. Положительные значения NZ откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз от нулевой линии.
Проверка правильности построения эпюры NZ.
Эпюра сил NZ должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены сосредоточенные силы (у нас - HA, F, F, 5F). Скачки по модулю должны быть равны значениям, сосредоточенным сил, приложенных в соответствующих сечениях.
В нашем примере это правило выполняется.
3 Подобрать размеры сечения.
Размеры сечения подбираются из условия прочности
,
где - значение максимальной продольной силы по модулю в продольном сечении. В нашем случае = 12 кН;
А - площадь поперечного сечения;
Для круглого сечения
,
где D – диаметр сечения.
Для прямоугольного сечения
,
где
b
и h
- размеры сечения (у нас
).
Из условия прочности получаем формулу подбора сечения
.
Подбираем размеры круглого сечения
,
тогда
,
Подбираем размеры прямоугольного сечения
,
тогда
,
4 Построить эпюру перемещения сечений стержня относительно защемления.
Если на участке стержня продольная сила NZ по величине не изменяется, то перемещение Δl считается по формуле
,
где l – длина участка;
E = 2∙105 МПа – модуль нормальной упругости стали.
Строим эпюру перемещения Δl.
Участок
I:
- перемещение заделки равно нулю.
-
перемещение сечения «B»
относительно защемления «А».
.
Строим эпюру Δl на первой участке.
Участок II:
.
Строим Δl на втором участке.
Участок III:
.
Строим Δl на третьем участке.
Задача № 2 Расчет на прочность и жесткость статически определимого ступенчатого стержня
Исходные данные:
A1 = 14 см2 = 14∙10-4 м2, A2 = 10 см2 = 10∙10-4м2, A3 = 8 см2 = 8∙10-4 м2;
l1 = 50 см = 50∙10-2 м2, l2 = 80 см = 80∙10-2 м2, l3 = 40 см = 40∙10-2 м2;
σy = 250 МПа – предел прочности стали;
n = 1,8 – коэффициент запаса прочности;
Δadm = 0,1∙10-3 м – допускаемые перемещения стержня;
E = 2∙105 МПа, остальные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 3.13.
Задание.
1 Построить эпюры продольных сил NZ, нормальных напряжений σ и перемещений Δl.
2 Оценить прочность ступенчатого стержня.
3 Оценить жёсткость ступенчатого стержня.
Решение
1 Вычислить реакции опоры RA.
Выбираем главные оси «у» и «z».
Для
вычисления реакции RA
составляем уравнение равновесия в виде
суммы проекций всех сил на ось z,
т.е.
Вычисляем:
,
- RA +
F2 +
F3
- F1
= 0,
отсюда RA = - F2 - F3 + F1 = - 80 – 60 + 180 = 40 кН.
2 Вычислить и построить эпюру продольных сил NZ.
При вычислении применяется метод сечений.
Правило знаков NZ смотреть в таблице 2.1.
Участок I: 0 ≤ z1 ≤ 25 см.
NZ1 = RA = 40 кН – растяжение.
Участок
II: 0 ≤ z2
≤
.
NZ2 = RA - F1 = 40 – 180 = - 140 кН – сжатие.
Участок III: 0 ≤ z1 ≤ l3 .
NZ3 = - F3 = - 60 кН – сжатие.
По этим значениям строим эпюру NZ.
Рисунок 3.13
3 Построить эпюру нормальных напряжений σ.
Нормальные напряжения считаются по участкам по формуле
.
Участок
I: 0 ≤ z1
≤
= 25∙10-2
м.
.
Участок II: 0 ≤ z2 ≤ = 105∙10-2 м.
На
этом участке на длине 0 ≤ z2
≤
площадь сечения равна А1,
а на длине
площадь сечения равна А2.
Тогда
,
,
Участок III:
.
4 Оценить прочность ступенчатого стержня.
Допускаемое напряжение равно:
.
В нашем примере σmax = 140 МПа.
Условие прочности σmax≤σadm выполняется.
5 Построение эпюры перемещения Δl.
Перемещения Δl вычисляется по формуле
,
где l - длина участка;
E
= 2∙10
МПа - модуль нормальной упругости стали;
А - площадь поперечного сечения на соответствующем участке.
Перемещения сечений вычисляются относительно заделки.
Перемещение заделки А равно нулю: ΔlA = 0.
Перемещение сечения B относительно заделки А равно
.
Перемещение сечения С относительно заделки А равно
.
Перемещение сечения D относительно заделки А равно
.
Перемещение сечения К относительно заделки А равно
.
По найденным значениям строится эпюра перемещений Δl.
6 Оценка жесткости ступенчатого стержня.
Допускаемое
перемещение стержня равно
.
В
нашем примере стержень укоротился на
.
Условие
жесткости не выполняется, т. к.
>
.