3.1.2 Расчёт на прочность и жесткость при кручении

Кручение имеет место быть, когда крутящий момент M_Z ≠ 0, а остальные пять силовых факторов равны нулю, рисунок 3.2а.

Рисунок 3.2

Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.

В поперечных сечениях при кручении возникают только касательные напряжения «τ».

В сечениях круглого вала касательные напряжения вычисляются как

, (3.13)

где M_Z - крутящий момент;

I_ρ - полярный момент инерции;

ρ - координата точки, в которой определяют касательное напряжение.

Касательное напряжение «τ» по сечению вала распределяются по линейному закону.

Максимальное касательное напряжение «τ_max» возникает на поверхности вала при ρ_max = R. В центре тяжести сечения касательное напряжение равно нулю, т.е. касательные напряжения по сечению распределяются неравномерно.

Условие прочности записывается как

, (3.14)

где - максимальный крутящий момент, взятый по модулю с эпюры ;

- полярный момент сопротивления;

R - радиус вала;

- допускаемое касательное напряжение, принимаемое обычно в два раза меньше допускаемого нормального напряжения для данного материала или назначается по соответствующим стандартам.

Подбор размеров сечения.

Из условия прочности получаем формулу для подбора размеров вала

. (3.15)

Для круглого сплошного вала полярный момент сопротивления равен

, (3.16)

Тогда из формулы (3.16) диаметр вала равен

. (3.17)

Для трубчатого вала (кольцевого вала) полярный момент сопротивления равен

W_ρ = 0,2D³∙(1 - α⁴). (3.18)

Тогда из формулы (3.18) внешний диаметр равен

(3.19)

где .

Далее вычисляется внутренний диаметр вала

Вычисление углов закручивания.

Вычисление углов закручивания вала необходимо выполнять со стороны защемления.

Угол закручивания считается как

(3.20)

где M_Z - крутящий момент на соответствующем участке;

l - длина участка;

G - модуль сдвига материала;

I_р - полярный момент инерции;

G∙I_р - жесткость сечения стержня (вала) при кручении.

Для сплошного вала

. (3.21)

Для трубчатого вала

(3.22)

На каждом участке вычисляются углы закручивания и строится эпюра углов закручивания Δφ сечений, начиная от защемления (с учётом углов закручивания на предыдущих участках).

3.1.3 Расчёт на прочность и жесткость при плоском изгибе

Плоский изгиб имеет место быть, когда изгибающий момент M_x ≠ 0 - случай чистого изгиба (рисунок 3.3а) или когда сила Q_y ≠ 0 и изгибающий момент M_x ≠ 0 (рисунок 3.3б), а остальные силовые факторы равны нулю.

Рисунок 3.3

Стержень, который изгибается, называется балкой (или брусом).

Рисунок 3.4

При изгибе по высоте балки различают зону растяжения и зону сжатия, рисунок 3.4. Граничный слой между этими зонами называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением балки образует нейтральную линию (н.л. – ось х). В нейтральном слое и нейтральной линии напряжения и деформации равны нулю. Продольная плоскость, в которой действуют все внешние силы, называется силовой плоскостью. Линия пересечения силовой плоскости с поперечным сечением балки образует силовую линию (с.л. – ось у). Нейтральная линия и силовая линия в поперечном изгибе всегда взаимно перпендикулярны.

Нормальные напряжения при изгибе вычисляются как

, (3.23)

где M_x - изгибающий момент;

I_x - главный момент инерции относительно оси «х»;

y - координата точки, в которой определяется напряжение.

Нормальные напряжения по высоте сечения распределяются по линейному закону, рисунок 3.5. Максимальное напряжение находится в самой удаленной точке от нейтральной линии.

Рисунок 3.5

Условие прочности по нормальным напряжениям записывается в следующем виде

, (3.24)

где - максимальный изгибающий момент по модулю, определяемый по эпюре ;

- осевой момент инерции сечения;

- ордината самой удалённой от нейтральной линии точки.

Подбор размеров сечения.

Из условия прочности (3.24) можно получить формулу для подбора размеров сечения

(3.25)

Если выбираются размеры двутавра или швеллера, то по найденному из зависимости (3.25) значению осевого момента сопротивления назначается по сортаменту проката номер двутавра или швеллера с ближайшим большим относительно найденного значением осевого момента сопротивления.

Для круглой сплошной балки

, (3.26)

отсюда

. (3.27)

Для трубчатой балки

, (3.28)

отсюда внешний диаметр

, (3.29)

где - задаётся по условию задачи.

Далее вычисляется внутренний диаметр балки

Для балки прямоугольного сечения

, (3.30)

где b и h - соответственно ширина и высота прямоугольного сечения.

Если то

Тогда высота сечения равна

, а . (3.31)

Проверка прочности балки по касательным напряжениям.

Касательные напряжения «τ» при изгибе вычисляются по формуле Журавского

, (3.32)

где Q_y – значение поперечной силы в опасном сечении, определяемое из эпюры Q_y;

I_x - главный момент инерции относительно оси «х»;

b_y - ширина слоя сечения в том месте, где находится исследуемая точка, рисунок 3.6.

- статический момент сечения отсечённой площади .

y_c - координата центра тяжести отсечённой площади.

Рисунок 3.6

Максимальные касательные напряжения «τ_max» находятся на нейтральной линии и считаются как

(3.33)

где - статический момент половины площади поперечного сечения балки относительно оси «х»;

b₀ - ширина поперечного сечения по оси «х».

Условие прочности при изгибе по касательным напряжениям записывается как

, (3.34)

где - максимальная поперечная сила, назначается из эпюры ;

- допускаемое касательное напряжение.

Определение перемещений в балках при изгибе

Прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости, то есть появления в балке больших перемещений.

Для выполнения расчетов балок на жесткость необходимо научиться вычислять перемещения различных точек ее оси. В связи с малостью горизонтальных перемещений полагаем, что любая точка оси балки перемещается только по вертикали.

Рассмотрим балку, находящуюся под действием внешних сил и введем ряд понятий и обозначений в соответствии с рисунком 3.7.

Рисунок 3.7

Через y(z) и y_K обозначим вертикальные перемещения соответственно произвольного сечения на расстоянии z от начала координат (опоры А) и сечения К недеформированной оси балки.

Изогнутую ось балки принято называть упругой линией, а перемещения y точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси – прогибами балки.

При деформации балки ее поперечные сечения поворачиваются, оставаясь перпендикулярными к изогнутой оси, соответственно θ(z) и θ_К - углы поворота сечений.

Правила знаков для y и θ следующие:

1. Прогиб считается положительным, если точки ее оси перемещаются вверх.

2. Угол поворота положительный, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки.

Следовательно, на рисунке 1 y(z) и θ(z) - отрицательны, а y_K и θ_К - положительные.

Закон Гука при изгибе можно записать в виде:

(1)

где − радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении z,

М_x(z) − изгибающий момент в том же сечении,

EI_x − жесткость поперечного сечения балки.

Из высшей математики известно, что кривизна плоской кривой описывается уравнением:

. (2)

Знаменатель в уравнении (2) мало отличается от 1: , при этом в самых наихудших случаях угол θ не превышает 1⁰ , а , т. е. значительно меньше 1.

В результате, приравнивая правые части уравнений (1) и (2), с учетом вышеизложенного замечания получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в виде:

. (3)

Уравнение (3) дважды проинтегрируем. После первого интегрирования получим угол поворота сечения:

, (4)

где С – произвольная постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, находим прогиб:

, (5)

где D – вторая произвольная постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D находим из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки (отсутствие прогибов у шарнирных опор балок и углов поворота в жесткой заделке).

Метод непосредственного интегрирования для определения прогибов и углов поворотов сечений становится весьма трудоемким уже при наличии 3-х участков у балки, так как необходимо вычисление 2×3=6 произвольных постоянных интегрирования.

Трудоемкость решения таких задач можно существенно уменьшить, если применить специальный метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки – метод начальных параметров (МНП).

Если при составлении выражений для изгибающих моментов и интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси балки придерживаться определенных правил, то уравнение упругой линии балки будет содержать, лишь две произвольные постоянные независимо от числа участков интегрирования.

Рассмотрим консольную балку, нагруженную M, F и q, показанную на рисунке 3.8.

Рисунок 3.8

1. Начало координат выбирают в крайней левой точке.

2. Выражение для изгибающего момента составляют для произвольного сечения последнего участка балки.

3. При включении в уравнение момента М, который приложен на расстоянии "а_М" от начала координат, его умножают на множитель (z – a)⁰, который равен 1.

4. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления.

5. Интегрирование полученного уравнения производят без раскрытия скобок (прием Клебша).

Для показанной на рисунке 2 балки запишем выражение для изгибающего момента в произвольном сечении z последнего участка балки:

(6)

Дифференциальное уравнение запишем в виде:

(7)

Проинтегрируем полученное выражение дважды. В результате первого интегрирования получим выражение для углов поворотов сечений:

. (8)

Второе интегрирование дает уравнение для прогибов:

. (9)

Начальные параметры – это то, что мы имеем в начале координат, т.е. для указанной на рисунке 2 балки: М₀=0, Q₀=0, прогиб y₀0, угол поворота ₀0. y₀ и ₀ находим из подстановки в уравнения (8) и (9) условия закрепления правой опоры (жесткая заделка): при z=l имеем y(z)=0, (z)=0.

На рисунке 3.9 указаны варианты закрепления балки:

Рисунок 3.9

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

1. Определить все опорные реакции.

2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).

3. Ось  у  направить вверх, ось z – вдоль балки.

4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше на рисунке 3).

5. Зная начальные параметры у₀  и ₀, по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б)  Каждая внешняя сила (М, F, q) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.