2.3 Образцы решения расчетно-графических работ «Вычисление и построение эпюр всф»

Задача №2.1 Растяжение (сжатие) (стержень с сосредоточенными нагрузками и тремя участками)

Исходные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 2.10.

Вычислить и построить эпюру продольных сил N_z.

Решение

1 Вычислить реакцию опоры H_A.

Выбираем глобальные оси у и z. От продольных активных (внешних) сил в заделке (в защемлении) возникает только одна продольная реакция H_A. Для ее вычисления составляем уравнение равновесия типа .

Решаем ; .

Отсюда .

Отрицательное значение реакции H_А указывает на то, что действительное направление этой реакции происходит в другую сторону по сравнению с рисунком. Этот знак H_A не забываем в дальнейших расчетах.

2 Вычислить и построить эпюру N_Z.

При вычислении N_Z применяется метод сечений. Стержень имеет три участка (количество участков определяется законом распределения внешних нагрузок вдоль сечения). Правила знаков приложенных сил N_Z указано в таблице 2.1.

Участок I: 0 ≤ z₁ ≤ 0,5 м, обход участка слева направо.

N_z = H_A = - 5 кН (участок сжимается) – прямая линия, параллельная нулевой линии. Строим эпюру N_Z на I участке.

Рисунок 2.10

Положительное значение усилия откладывается вверх от нулевой линии, отрицательное – вниз.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 0,6 м, обход участка слева направо.

N_z = - H_A + F₃ = - 5 + 12 = 7 кН (участок растягивается) – прямая линия, параллельная нулевой линии.

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 0,4 м, обход участка справа налево.

N_z = - F₁ = - 10 кН (участок сжимается) – прямая линия, параллельная нулевой линии.

Проверка построения эпюры N_Z.

Эпюра силы N_Z должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены продольные сосредоточенные силы (в нашем случае – H_A, F_1, F_2, F₃). Эти скачки должны быть равны значениям сосредоточенных сил, приложенных в соответствующих сечениях. Это правило в нашем примере выполняется.

Задача №2.2 Растяжение (сжатие) (с распределенной нагрузкой и тремя участками)

Исходные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 2.11.

Вычислить и построить эпюру продольных сил N_z

Рисунок 2.11

Решение

1 Вычислить реакции опоры Н_А.

От продольных активных (внешних) сил в защемлении возникает только одна продольная реакция H_A. Для ее вычисления составляется уравнение равновесия типа .

Решаем ; , отсюда

.

Отрицательное значение реакции H_A указывает на то, что она направлена в другую сторону по сравнении с рисунком 2.11. Этот знак H_A – не забывать в дальнейших решениях.

2 Вычислить и построить эпюру продольных сил N_z.

При вычислении продольных сил N_Z применяется метод сечений. Стержень имеет по длине три участка (количество усилий определяются законом распределения внешних нагрузок вдоль стрежня). Проверка знаков продольных сил N_Z смотреть в таблице знаков ВСФ.

Участок I: 0 ≤ z₁ ≤ 0,4 м, обход участка слева направо.

(растяжение) – прямая линия, параллельная нулевой линии. Строим эпюру N_Z на I участке.

Положительные значения усилий откладываем вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз от нулевой линии.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 0,5 м, обход участка слева направо.

(растяжение) – наклонная прямая.

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 0,3 м.

(сжатие) – прямая линия, параллельная нулевой линии.

Проверка правильности построения эпюры N_Z. Эпюра должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены продольные сосредоточенные силы (в нашем случае – H_A, F₁, F₂). Эти скачки по модулю должны быть равны значениям сосредоточенных сил, приложенных в соответствующих сечениях. Это правило в нашем примере выполняется.

Задача №2.3 Кручение вала

Исходные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 2.12.

Вычислить и построить эпюру крутящих моментов М_z.

Решение

1 Вычислить реактивный крутящий момент М_R.

Стержни, работающие на кручение, называют валами.

От крутящих внешних моментов в защемлении возникает только один реактивный крутящий момент M_R.

Для его вычисления составляется уравнение равновесия типа .

Решаем ; , отсюда

.

Рисунок 2.12

Положительное значение реактивного момента M_R указывает на то, что действительное его направление совпадает с направлением на рисунке 2.12.

2 Вычислить и построить эпюру крутящих моментов М_Z.

При вычислении крутящего момента M_Z применятся метод сечений. Стержень (вал) имеет по длине три участка. Количество участков определяется законом распределения внешних моментов вдоль вала. Правило знаков M_Z смотреть в таблице знаков ВСФ.

Участок I: 0 ≤ z₁ ≤ 0,3 м, обход участка слева направо.

M_Z = - M_R = - 10 кН. Строим эпюру M_Z на I участке.

Положительное значение крутящего момента откладывается вверх от нулевой линии, а отрицательное - вниз от нулевой линии.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 0,4 м, обход участка слева направо.

M_Z = - M_R + T₃ = - 10 + 13 = 3 кН.

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 0,3 м, обход участка справа налево.

M_Z = - Т₁ = - 9 кН∙м.

Проверка построения эпюры M_Z.

Эпюра крутящих моментов должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены сосредоточенные моменты (в нашем случае – M_R, T₁, T₂, T₃). Эти скачки по модулю должны быть равны значениям сосредоточенных моментов, приложенных в соответствующих сечениях. Это правило в нашем случае выполняется.

Задача №2.4 Поперечный изгиб балки (три участка)

Исходные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 2.13.

В

q

ычислить и построить эпюру поперечных сил Q_y и эпюру изгибающих моментов M_х.

Решение

1 Вычислить реакции опор R_A и R_B.

Выбираются глобальные оси «y» и «z». Составляются уравнения равновесия в виде суммы моментов внешних сил (нагрузок) относительно опоры B, т.е. .

Решаем ; , отсюда

.

Р исунок 2.13

Затем составляется сумма моментов сил относительно другой опоры А, т.е. .

Решаем , отсюда

.

Проверка вычисления реакций.

Если реакции, значение и направление определены правильно, то должно выполняться следующее условие: сумма проекций всех нагрузок (в том числе и реакций) на ось «у» должна быть равна нулю, т.е. .

Проверяем , или .

Проверка выполняется.

2 Вычислить и построить эпюру поперечных сил Q_y и эпюру изгибающих моментов M_x.

При вычислении Q_y и M_x применяется метод сечений. Балка (стержень который изгибается, называется балкой) по длине имеет три участка. Количество участков определяется законом распределения внешних нагрузок вдоль балки.

Правило знаков Q_y и M_x отображено в таблице 2.1.

Участок I: 0 ≤ z₁ ≤ 3 м, обход участка слева направо.

Q_y = R_A = 12,5 кН - прямая линия, параллельная нулевой линии.

		0

- уравнение наклонной линии.

Положительные значения поперечной силы Q_y откладываются вверх от нулевой линии; а отрицательные значения - вниз от нулевой линии.

Положительные значения изгибающего момента М_х откладываются вниз от нулевой линии (на растянутых волокнах балки - такова традиция у строителей), а отрицательные значения М_х откладывают вверх от нулевой линии.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 4 м, обход участка слева направо.

- уравнение наклонной прямой.

-

Уравнение квадратной параболы.

На этом участке эпюра М_х имеет экстремальное значение (максимальное) значение в сечении, где Q_y = 0 (это вытекает из дифференциальной зависимости ).

Определяем максимальное значение изгибающего момента .

отсюда .

Тогда .

По трем точкам строим эпюру М_х (парабола вогнутостью направлена навстречу «q»).

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 3 м, обход участок справа налево.

- уравнение прямой параллельной нулевой линии.

	0	0
	z3=3 м

- уравнение наклонной прямой.

Проверка построения эпюры Q_y и эпюры M_x.

Эпюра поперечных сил Q_y должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены поперечные сосредоточенные силы (в нашем случае – R_А, R_B, F). Эти скачки по модулю должны быть равны значениям сосредоточенных сил, приложенных в соответствующих сечениях.

Это правило в нашем случае выполняется.

Эпюра изгибающих моментов М_х должна иметь скачки в тех сечениях, где приложены сосредоточенные моменты (в нашем случае - М). Эти скачки по модулю должны быть равны значениям сосредоточенных моментов, приложенных в соответствующих сечениях.

Это правило в нашем примере выполняется.

На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка «q» эпюра Q_y - наклонная прямая, а эпюра М_х - квадратная парабола, направленная вогнутостью навстречу нагрузке «q».

Если эпюра Q_y на этом участке имеет нулевое значение в некотором сечении, то эпюра М_х в этом сечении имеет экстремальное значение (т.е. парабола имеет вершину).

Это правило в нашем примере выполняется.

Задача № 2.5 Изгиб рамы с шарнирными опорами и тремя участками

Исходные данные представлены на схеме нагружения, рисунок 2.14.

Рисунок 2.14 – Схема нагружения рамы

Вычислить и построить эпюру продольных сил N_z, эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_х.

Решение:

1 Вычислить реакции опор R_A, H_B и H_A.

Выберем глобальные оси «x» и «y». Так как вертикальная реакция R_A одна, то удобно для вычисления этой реакции составить уравнения в виде суммы проекций всех сил на ось «у», т.е. .

Решаем ; , отсюда

Реакция R_A в действительности направлена вверх. Для вычисления реакции Н_B составляем уравнение в виде суммы моментов внешних сил относительно опоры А, т.е. .

Решаем ; ,

.

Для вычисления реакции Н_А составляется уравнение в виде суммы моментов внешних сил относительно опоры В, т.е. .

Решаем , отсюда

.

Реакция Н_А в действительности направлена вправо. Направление реакции Н_А изменять не будем, но в дальнейших расчетах это не забудем.

Проверка вычисления реакций.

1. , , .

Проверка выполняется.

2. ; решаем это равенство: ; ; .

Проверка выполняется.

2 Вычислить и построить эпюры продольных сил N_z, поперечных сил Q_y и изгибающего момента M_x.

При вычислении N_z, Q_y и M_x применяется метод сечений. Имеем три участка. Задаемся направлением обхода участков рамы (см. рисунок 2.14). Это важно только при определении знака изгибающего момента M_x правило знаков ВСФ т.е., что и при расчетах балок и стержней (смотреть таблицу 2.1). Заготовим три системы решений для эпюры N_z, для эпюры Q_y и для эпюры M_x.

Участок I: 0 ≤ z₁ ≤ 4 м, обход участка слева направо (см. рисунок 2.14).

Вычисляем N_Z = - R_A = - 30 кН (сжатие).

Q_y = H_A = - 17 кН.

		0.
		.

У нас наблюдатель «Н» находится внутри рамы. Условно «верх» находится слева от стойки А-1, а «низ» - справа от стойки А-1.

Строим эпюры N_z, Q_y и M_x в соответствии с рисунком 2.15.

Участок II: 0 ≤ z₂ ≤ 6 м, обход слева направо (см. рисунок 2.14).

N_Z = H_A - F₂ = - 17 – 12 = - 29 кН (сжатие).

уравнение квадратной параболы.

Строим эпюры N_z, Q_y, M_x в соответствии с рисунком 2.15.

Эпюра М_х - квадратная парабола вогнутостью навстречу нагрузки «q». Экстремального значения эпюры М_х не имеет.

Рисунок 2.15 – Эпюры в.с.ф.

Участок III: 0 ≤ z₃ ≤ 2 м, обход участка справа налево.

N_Z = - F₁ = - 6 кН (сжатие).

Q_y = - H_B = - 29 кН.

		0

Строим эпюры N_z, Q_y и M_x в соответствии с рисунком 2.15.

Проверка построения эпюр ВСФ.

Если рама находится в равновесии, то любой вырезанный узел рамы должен находиться в равновесии.

Проверяем равновесие узлов 1 и 2 (см. рисунки 2.14, 2.16).

Рисунок 2.16 - Про

Значения N_z, Q_y и M_x взять с их эпюр. Обозначать направление усилий на узел в соответствии со следующими правилами. Если сила N_z положительна, то вектор силы направлен от сечения, если отрицательна, то вектор силы направлен к сечению (как у нас на схеме узла вектор «29 кН» и вектор «30 кН»).

Если поперечная сила Q_y положительна на эпюре, то вектор на узле вращает вырезанный узел по часовой стрелке, если сила Q_y отрицательна на эпюре Q_y, то вектор силы должен вращать вырезанный узел против часовой стрелки.

Пунктиром на узлах показано положение растянутых волокон. В соответствии с этим направляем моменты.

Проверяем равновесие узла «1».

, . , . , .

Равновесие узла «1» выполняется.

Проверяем равновесие узла 2.

, . , . , .

Равновесие узла «2» выполняется.