3.1. Виды нагружения и реологические модели

Зависимость нагрузки и деформаций от времени характеризуется скоростью нагружения и скоростью деформирования. По характеру внешней нагрузки различают:

• статическое нагружение, когда действующая сила постоянна или относительно медленно изменяется, при этом деформирование протекает очень медленно и все части тела успевают прийти в рав­новесное напряженно-деформированное состояние. На практике нам приходится иметь дело с квазистатическим (почти статиче­ским) деформированием;

• динамическое нагружение, когда силовые факторы меняются во времени по некоторому закону, части тела не успевают прийти в равновесное состояние, и деформационные возмущения успевают за рассматриваемый промежуток времени (доли секунд) пройти все тело несколько раз, частицы среды при этом находятся в колеба­тельном движении;

• импульсное нагружение, когда сила действует быстро и кратко­временно (порядка микросекунд), как и при динамическом нагру- жении, возмущение распространяется с конечной скоростью, обра­зуя в рассматриваемый промежуток времени локальные напряже­ния и деформации.

Критерием оценки характера нагружения служит время прохождения звуковой волны через тело. Волновыми процессами можно пренебречь, т. е. нагружение можно считать квазистатическим, если длительность ударного импульса в несколько (3-8) раз превосходит время движения звуковой волны до границ тела. Соответственно, если длительность им­пульса в несколько раз меньше, то нагружение является импульсным.

Для описания процесса деформирования разработан целый ряд ма­тематических моделей [11]. Их основой служат математические модели так называемых «идеальных» тел, т. е. тел, обладающих только одним из указанных свойств. В реальности можно найти такие тела, в том чис­ле и среди пищевых продуктов, поведение которых при деформирова­нии может быть удовлетворительно описано подобными моделями. Од­нако, как при всяком моделировании, игнорируя другие свойства, необ­ходимо сознавать, что они также присутствуют, но либо слабо выраже­ны, либо в данный момент для решения поставленной задачи несущест­венны. Как правило, для описания поведения реальных тел сначала пы­таются использовать простейшие модели, в дальнейшем усложняя их по мере необходимости. Изучением поведения продуктов под действием механической нагрузки занимается целый раздел механики - реология.

Структурно-механические свойства характеризуют поведение про­дукта в условиях напряженно-деформированного состояния и позволя­ют связать между собой в виде математических зависимостей нагрузку и деформацию и их производные по времени (скорости нагружения и деформирования).

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, не являются константа­ми материала и в условиях реальных тел зависят от влияния окружаю­щей среды, температуры, размеров и формы тела, состояния поверхно­сти и многих других факторов, в том числе и методики их оценки.

Различают простые тела и сложные. К простым телам относят:

1. Упругие.

1.1. Линейное упругое тело (идеальное упругое, тело Гука). При одноосном растяжений (сжатии)

Р = Кх,

где Р - внешнее усилие; х - линейная деформация; К - коэффициент пропорцио­нальности, или жесткость.

Величина обратная жесткости, \/К называется податливостью. Данная модель описывает свойство упругости, а коэффициент К являет­ся его характеристикой и принимается за величину постоянную. Отме­тим, что модель описывает только конечное состояние «усилие-дефор­мация», полагая, что изменение состояния происходит мгновенно, т. е. при мгновенном приложении нагрузки происходит мгновенная дефор­мация до соответствующей величины.

1.2. Нелинейное упругое тело. При одноосном растяжении (сжатии)

Р = К(х)-х.

В данном случае жесткость К(х) является функцией деформации. После снятия внешней нагрузки упругие тела восстанавливают свою форму и размеры без остаточной пластической деформации. Структур­ную модель подобных идеальных упругих материалов можно предста­вить пружиной с линейной или нелинейной характеристикой.

2. Пластичные тела (идеальное пластичное, тело Сен-Венана). При достижении предела текучести или некоторой предельной нагрузки развивается беспредельная пластическая деформация. До этого момента тело не деформируется.

Р<Р„,х = 0;

Р > Р_п, х ->оо.

Модель пластической среды можно представить в виде элемента сухого (Кулонова) трения.

2. Вязкие тела.

   1. Линейно вязкое тело (идеальное вязкое тело, ньютоновская жидкость). Подчиняется закону вязкости Ньютона, который при одно­осном напряженном состоянии имеет вид:

Р = л dx/dt,

где г| - коэффициент пропорциональности или вязкости; t - время.

Модель отражает пропорциональную зависимость силовой реакции тела на деформирование от скорости деформирования. При приложении фиксированной нагрузки тело беспредельно деформируется с постоян­ной скоростью. Модель можно изобразить в виде поршня, двигающего­ся в цилиндре с вязкой жидкостью.

2. Нелинейное вязкое тело (неньютоновская жидкость). Уравне­ние нелинейного вязкого течения имеет вид:

Р = Т1 {dx/dt) dx/dt.

В этом случае коэффициент вязкости r\(dx/dt) является функцией скорости деформирования.

Рассмотренные простейшие модели являются однопараметриче- скими.

Комбинируя простые тела, можно получить сложные тела, в том числе и нелинейные. Из сложных тел рассмотрим наиболее часто ис­пользуемые.

Упруго-вязкое тело Кельвина (Фойгта)

Схемой модели служит комбинация параллельно соединенных уп­ругого и вязкого тел (пружины и поршня). Математическое представле­ние имеет вид дифференциального уравнения первого порядка с посто­янными коэффициентами:

г] dx/dt + К х = ДО;

или

dx/dt + a x = b P(t),

где а = К/ц, b = 1/т].

Решение этого уравнения:

1

*(/) = e"^a,(jco + 6\P(t)e^aldt). о

При Р = const и начальных условиях t = 0, х = х₀ = 0, т. е. когда мгновенно прилагается фиксированная нагрузка Р, решение примет вид:

х(/) = Д1 -е^УК. (3.1)

Модель Кельвина отражает гот факт, что деформация в теле при мгновенном приложении постоянной нагрузки развивается не мгновен­но, а с запаздыванием (Т= 1 /а - постоянная времени). Отметим, что при снятии нагрузки (/ = 0, jc = Хо, Р - 0) тело восстанавливает свой размер:

x(t)=Xoe-^a',

т. е. деформация в теле Кельвина-Фойгга упругая. Релаксирующее тело Максвелла

Схематичной моделью служит комбинация последовательно со­единенных упругого и вязкого тел (пружины и поршня). Математиче­ское представление имеет вид дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

dP/dt + аР = К dx/dt.

Модель тела Максвелла описывает явление релаксации напряжения в твердых телах - при деформировании тела на постоянную величину возникающие в нем в первый момент усилия со временем убывают. Решение уравнения имеет вид:

Р(1) = е~^а\Р₀ + К \—e^atdt).

^J dt

о

Если в начальный момент времени t = О деформация - постоянная величина, т. е. х(О) = jc₀, и ей соответствует некоторая сила Р(0) = Р₀, то dx/dt = 0 и решение примет вид:

P(t) = Р₀ е~^а' или P{t) = Р₀ е~^t/T, (3.2)

где Т = 1 /а- постоянная времени релаксации.

Кинетика поведения тела Максвелла в этом случае следующая. При некоторой фиксированной деформации в теле мгновенно возникает реакция Ль которая со временем падает до нуля - релаксирует.

Если к телу приложить постоянное усилие Р = const, то dP/dt = 0 и в результате получим:

dxl& = Plx\.

После интегрирования при начальных условиях x{t = 0) = х₀ полу­чим:

x(t) = x₀ + Pt/r\. (3.3)

Т. е. в начальный момент тело мгновенно деформируется до неко­торой величины х₀, а далее - по линейному закону, т. е. с постоянной скоростью, отражая свойство ползучести.

Можно рассмотреть и другие условия нагружения, например, с по­стоянной скоростью деформирования dx/dt = const.

Комбинируя простые линейные и нелинейные модели, можно с большим или меньшим успехом описать реальное поведение тела в про­цессе деформирования. Так, вводя простое пластичное тело, можно по­лучить двухпараметрические модели упруго-пластичного, вязко-плас­тичного или трехпараметрическую модель упруго-вязко-пластичного тела, которые отражают свойство пластичности. В этом случае мы имеем математическое описание в виде нелинейных дифференциальных урав­нений, часто неразрешимых в аналитической форме. Используются и инерционные элементы, что приводит к появлению в дифференциаль­ных уравнениях производных второго порядка. Кроме того, для описа­ния деформационного поведения тел во времени, кроме дифференци­альных уравнений, используются интегральные уравнения. Однако сле­дует иметь в виду, что с ростом числа элементов в схеме модели возрас­тает количество неизвестных коэффициентов в ее математическом опи­сании, оценка которых по результатам экспериментов сама по себе за­дача не из простых.

11араметры или коэффициенты рассмотренных и нерассмотренных моделей определяются из эксперимента, т. е. являются эмпирическими. Аппаратурным и методическим обеспечением подобных экспериментов занимается раздел реологии - реометрия, которую можно определить как совокупность приборов и методов для измерения реологических свойств пищевых материалов, определения структурных, кинематиче­ских и динамических характеристик взаимодействия рабочих органов пищевых машин и рабочей среды, а также для оценки изменения реоло­гических свойств под действием внешних факторов (тепло, химическое воздействие и т. п.) [12].

Разнообразие объектов исследования потребовало и широкого кру­га приборов - реометров. К сожалению, ни один прибор не позволяет получить характеристики, не зависящие от конструкции и принципа действия реометра. Т. е. сравнение характеристик материалов возмож­но, если они получены на одном и том же или аналогичном реометре.