СМОД – Статистические методы обработки данных / Лаба 1 - 8 / smodlabs / по смоду / шпоры_2006г / 44

44. Оценивание спектральной плотности стационарной случайной последовательности.

Имеется реализация , стационарной случайной последовательности . Надо найти спектральной плотности .

Будем различать 2 случая:

1) известно

2) неизвестно

Рассмотрим случай 1) , т.к. он проще и позволяет выяснить свойства оценки.

Оценкой спектральной плотности является следующая функция:

(1) для , где ; , – эта оценка называется спектрограммой.

Для анализа этой оценки приведём её к другому виду. Для этого возведём и в квадрат и подставим в формулу (1):

= Вспомним, что = .

последняя сумма есть сумма элементов квадратной n×n матрицы.

Выполним суммирование этих элементов по диагонали. Для этого введём новую переменную суммирования k=(i-j), т.е. j = i+k.

Выполним суммирование этих элементов по диагонали:

Это выражение позволяет установить аналогию между оценкой и оцениваемой функцией .

Исследуем оценку спектральной плотности на несмещенность:

Если вспомнить:

_{То нам надо:}

Если бы она была несмещенной, то мы бы получили:

Из выр-ния видно, сто мат-е ожидание оценки не равно оцениваемой функции, след-но эта оценка смещенная, ее мат-е ожидание равно интегралу от оцениваемой функции и с каким-то весом.

Можно однако показать, что она асимптотически несмещ-я, если спектр-я плотность процесса непрерывна в точке w.

2) Рассмотрим случай, когда неизвестно. В качестве оценки спектральной плотности можно взять выражение (1), в котором нужно определить иначе

Тогда система имеет такой же вид, только добавляется

То есть (2)

, ,

Естественно ожидать что, свойства этой оценки будут хуже.

Например: при , эта оценка вообще будет непригодна. Легко показать, что для любой реализации , , ... . Действительно, легко видеть, что , так как sin0=0, кроме того

Можно показать, что для оценка асимптотически несмещенная. Это доказывается следующим соотношением :

- оценка при известном мат-ком ожидании. Эта теорема и подтверждает ассимптотич. несмещенность. Как и оценка , является несостоятельной.