СМОД – Статистические методы обработки данных / Лаба 1 - 8 / smodlabs / по смоду / шпоры_2006г / 43

43. Оценивание ковариационной функции стационарной случайной последовательности.

Имеются отчеты X(T),X(2T),…,X(nT) реализации случайной последовательности и требуется найти оценки коэффициентов ковариации ,

; k=0,

Здесь возможны 2 случая:

1. когда - известно

2. когда - неизвестно. В случае 2) нужно использовать ее оценку

Рассмотрим 1-й случай.

В качестве оценок известных выступают: , где

-несмещенная.

Наряду с этой оценкой встречается оценка вида

Легко увидеть, что оценка является смещенной;

Для исследования на состоятельность найдем дисперсию:

При анализе этого выр-ния, как видно, необх учитывать моментную функцию 4-го порядка стац-ной случ-ой посл-ти. В связи с этим анализ дисперсии оценки существенно усложняется.

Конечный рез-т: теорема: если моментная ф-ция 4-го порядка=0, то выполн-ся соотношение:

. Не подтверждает состоятельности, хотя может свидетельствовать об улучшении оценки по мере увеличения объема выборки n.

Рассмотрим случай 2) если мат ожид-е неизв-но, то лучше исп-ть: .

Обозначим , это не уентр-ные отсчеты, это разность отсчета и оценки среднего.

В этом случае используется оценка

Для исследования на несмещенность найдем:

=

₌

_{После простых преобразований можно получить:}

, где b(R(kT)) – смещение. След-но оценка R(kT) – смещенная.

Когда мат. ожидание неизвестно то оценка смещенная.

Показано в литературе, что при при , т.е. оценка является асимптотически несмещенной.

Более строгий результат сод-ся в теореме:

Если сумма (конечна), то .

Если спектральная плотность непрерывна при w=0, то

Следовательно, тем более смещенная, поскольку , то оценка также смещенная (смещение еще больше добавляется, однако является асимптотически несмещенной).

Для дисперсии оценок и удобных выражений не получено, след-но мы не можем сказать о состоятельности оценок.