СМОД – Статистические методы обработки данных / Лаба 1 - 8 / smodlabs / по смоду / шпоры_2006г / 39
.doc39. Однофакторный дисперсионный анализ. Описание и постановка задачи. Оценка параметров.
Постановка задачи:
Для пояснения задачи диспер-ого анализа вернемся к задаче проверки гипотезы о равенстве математ-их ожиданий двух норм. генер-х совокупностей.
2 выборки:
,
из
2-х нормальных генер. совокупн.
и
.(
и неизвестны).
Требуется по этим выборкам
проверить гипотезу
и
Для решения этой задачи
используется t-статистика,
основанная на сравнении
и
.
Задача однофакторного дисп-го анализа явл-ся обобщением этой задачи в направлении нескольких генеральных совокупностей и используется для проверки гипотезы не t-статистики, а f-статистики.
Предполагается, что имеется k выборок разных объемов:
выборка объемом n1
выборка объемом n2
…
выборка объемом nk
из k
нормальных генеральных совокупностей;
Задача состоит в проверке
гипотезы
против альтернативы, что хотя бы одно
из этих равенств не выполняется.
Сформулируем эту задачу
более коротко: даны наблюдения вида
,
где i,j
– ошибки измерений, представляющие
собой независимые по i
и по j
случайные величины с распределением
.
Требуется по этим данным проверить
.
Данная задача имеет следующее применение: исследуем влияние некоторого фактора на некоторую характеристику производственного процесса. И фактор может принимать k уровней. Например, пусть исслед-ся влияние стажа работы на производит-ть:
В наст. время существует 4 уровня стажа: 1: до 5 лет, 2: от 5 до 10 лет, 3: от 10 до 15 лет, 4: свыше 15 лет.
Провер. гипотеза a1=a2=a3=a4 по результатам измер. произв-ти труда большой группы работников с разл. уровнем стажа. Если будет, что Ho принята, то это будет означать, что стаж не влияет на произв-ть. Если отклонение – то влияет.
Оценка параметров в однофакторном дисперсионном анализе:
,
i,j
,
.
Воспользуемся методом максимума правдоподобия:
,
,
;
- внутри групповая.
Предположим, что гипотеза
Ho
верна, т.е. все генеральные совокупности
имеют одно и то же среднее значение –
общее среднее;
.
Найдем оценки общего среднего и общих
дисперсий δ^2. Для этого необходимо в
логарифмич. ф-ции правдоподобия поменять
все ai
на аобщ.
Необходимое условие минимума:
Оценка
характеризует разброс всех наблюдений
относительно общего среднего.