5 Решить системы методом скорейшегоспуска Метод скорейшего спуска (метод градиента)
Пусть имеется система нелинейных уравнений:
(*)
Систему (*) удобнее записать в матричном виде:
(**)
где
-
вектор – функция;
-
вектор – аргумент.
Решение системы (*) будем искать в виде
(***)
Здесь
и
-
векторы неизвестных на p
и p+1
шагах итераций; вектор невязок на p-ом
шаге – f(p)
= f(x(p));
W'p
– транспонированная матрица Якоби на
p
– ом шаге;
;
.
Критерий остановки
итерационного процесса :
Решить системы нелинейных уравнений
I.
a=1,2,3,4,5;
II.
b=0.5
(0.5) 5;I
. 1) a=1;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения :
Примерно (1.7; 1.5) и (-1.5; -1).
Вычисляем :
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.7; 1.5):
По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:
eps=0.0911
Аналогично вычисляем последующие итерации. Занесем эти результаты для наглядности в таблицу:
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.00801 |
0.0911 |
1 |
|
|
|
|
|
0.01276 |
0.0075 |
2 |
|
|
|
|
|
0.0484 |
0.01212 |
3 |
|
|
|
|
|
0.01269 |
0.00189 |
4 |
|
|
|
|
|
0.04935 |
0.00247 |
5 |
|
|
|
|
|
0.01268 |
0.00037 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
б) Выберем начальное приближение для точки (-1.5; -1):
По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:
eps=0.04852
Аналогично вычисляем последующие итерации. Занесем эти результаты для наглядности в таблицу:
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.02925 |
0.04852 |
1 |
|
|
|
|
|
0.02575 |
0.00769 |
2 |
|
|
|
|
|
0.06082 |
0.00308 |
3 |
|
|
|
|
|
0.02603 |
0.00212 |
4 |
|
|
|
|
|
0.06168 |
0.00083 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
1 решение :
;
2 решение :
;
. 2) a=2;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения :
Примерно (1.3; 1.5) и (-1.1; -1.2).
Вычисляем :
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.3; 1.5):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.01585 |
0.01214 |
1 |
|
|
|
|
|
0.02076 |
0.00603 |
2 |
|
|
|
|
|
0.01596 |
0.00122 |
3 |
|
|
|
|
|
0.02074 |
0.00073 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
б) Выберем начальное приближение для точки (-1.1; -1.2):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.02606 |
0.01355 |
1 |
|
|
|
|
|
0.04575 |
0.00148 |
2 |
|
|
|
|
|
0.02702 |
0.00003 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
1 решение :
;
2 решение :
;
. 3) a=3;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения :
Примерно (1.1; 1.6) и (-1; -1.2).
Вычисляем :
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.1; 1.6):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.01559 |
0.01126 |
1 |
|
|
|
|
|
0.01557 |
0.00152 |
2 |
|
|
|
|
|
0.01548 |
0.00029 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
б) Выберем начальное приближение для точки (-1; -1.2):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.02369 |
0.0153 |
1 |
|
|
|
|
|
0.02822 |
0.00146 |
2 |
|
|
|
|
|
0.0307 |
0.00029 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
1 решение :
;
2 решение :
;
. 4) a=4;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения :
Примерно (1.1; 1.6) и (-0.8; -1.3).
Вычисляем :
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (1.1; 1.6):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.01138 |
0.02052 |
1 |
|
|
|
|
|
0.01554 |
0.0289 |
2 |
|
|
|
|
|
0.01206 |
0.00167 |
3 |
|
|
|
|
|
0.01498 |
0.00055 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
б) Выберем начальное приближение для точки (-0.8; -1.3):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.02207 |
0.00353 |
1 |
|
|
|
|
|
0.02999 |
0.00368 |
2 |
|
|
|
|
|
0.02204 |
0.00013 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
1 решение :
;
2 решение :
;
. 5) a=5;
Графически найдем приблизительно решение системы
Из графика видно 2 решения :
Примерно (0.9; 1.7) и (-0.7; -1.3).
Вычисляем :
Имеем
а) Выберем начальное приближение для точки (0.9; 1.7):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.01733 |
0.03684 |
1 |
|
|
|
|
|
0.01011 |
0.00098 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
б) Выберем начальное приближение для точки (-0.7; -1.3):
будем заносить все в таблицу
i |
|
|
|
|
|
|
eps |
0 |
|
|
|
|
|
0.01893 |
0.02052 |
1 |
|
|
|
|
|
0.02922 |
0.00902 |
2 |
|
|
|
|
|
0.01824 |
0.00202 |
3 |
|
|
|
|
|
0.02856 |
0.0009 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
1 решение :
;
2 решение :
;
