Правило объединения (или) для несовместимых событий
Если два события несовместимы (т.е. они не могут произойти одновременно), можно точно определить вероятность их объединения, сложив вероятности этих двух событий.
Р(А или В) = Р(А) + Р(В)
Нахождение или из и и наоборот
Если известны вероятности трех различных событий (А, В, и «А и В»), можно найти вероятность «А или В». Эта вероятность находится сложением двух вероятностей базовых событий с последующим вычитанием вероятности их пересечения. Вычитание исключает те результаты, которые при сложении учитываются два раза, как показано на рис.6.4.6.
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(А и В)
Представим себе, что предыдущий опыт работы ремонтной мастерской свидетельствует о том, что вероятность того, что в неисправном приборе перегорел предохранитель, составляет 6% (Р(А)), а вероятность обрыва провода составляет 4% (Р(В)).
Предположим также, что в 1% (Р(А и В)) случаев всех обращений приборы поступали в ремонт с перегоревшим предохранителем и обрывом провода. Обладая этими сведениями, можно легко найти вероятность тот, что в конкретном сданном в ремонт приборе присутствует одна из этих неисправностей (или обе).
Вероятность того, что “перегорел предохранитель или есть обрыв провода”
равна 0,06 + 0,04 - 0,01 = 0,09.
Таким образом, в случае 9% обращений в мастерскую прибор имеет одну из этих неисправностей (или обе сразу).
Путем алгебраических преобразований можно также найти выражение для вычисления вероятности “А и В” через вероятности А, В, и “А или В”:
Р(А и В) = Р(А) + Р(В) – Р(А или В)
Таким образом, зная любые три из этих четырех вероятностей (вероятностей событий А, В, “А и В” и “А или В”), можно найти четвертую, неизвестную вероятность.
В каких случаях оказываются полезными эти формулы? Один из случаев их применения состоит в том, чтобы взять в качестве исходной известные сведения о вероятностях и вычислить по соответствующей формуле вероятность другого события, возможно, представляющего больший интерес или имеющего большую важность. Другой случай — если мы хотим убедиться, что информация, на которой основываются решения, логически непротиворечива. Предположим, например, что у нас есть вероятности для событий А и В, вычисленных как относительные частоты на основе данных прошлых наблюдений. Планируется использовать субъективную оценку вероятности событий “А и В” и “А или В”. При этом может оказаться полезным убедиться в том, что связь между четырьмя рассматриваемыми величинами вероятности не противоречит приведенным выше формулам.
Одно событие при условии другого: учет имеющейся информации
Рассматривая задачу определения вероятности наступления события с учетом того, что некоторое другое событие уже произошло, мы приходим к понятию условной вероятности первого события при условии наступления второго события. (Все простые вероятности, о которых шла речь до сих пор, можно назвать безусловными вероятностями — это позволит избежать излишней путаницы.) Приведем несколько примеров условных вероятностей.
Предположим, ваша местная команда может выиграть важную игру с вероятностью 70%. Теперь введем в рассмотрение новую информацию, соответствующую событию “после окончания первого тайма команда выигрывает”. В зависимости от того, реализуется ли это событие, вероятность победы изменяется. Вероятность победы команды при условии, что она действительно выигрывает после первого тайма, окажется выше и будет равна, например, 85%. Эта вероятность 85% представляет собой вероятность события “команда одержала победу” при условии наступления события “команда выигрывает после первого тайма”. Вероятность выигрыша при условии, что команда проигрывает после первого тайма, будет меньше, чем общая вероятность победы, составляющая 70%. Пусть, например, эта вероятность оценивается в 35%. Данная величина представляет собой вероятность события “команда одержала победу при условии наступления события “команда проигрывает после первого тайма”.
На успех нового коммерческого проекта влияет много факторов. Для того чтобы описать их действие, можно рассмотреть влияние на условную вероятность успеха различных факторов, таких как благоприятные или неблагоприятные экономические условия и действия конкурентов. Экономический рост будет повышать шансы на успех; это означает, что вероятность успеха при условии экономического роста будет больше, чем общая (безусловная) вероятность успеха.