ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
2.1.Цель работы
2.1.1.Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.
2.1.2.Исследование многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики с помощью средств Matlab.
2.2.Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых много-
мерных распределений
2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N ( A, R)
Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1 ,...,ξm ) называется распределенным по нормальному закону , если его плотность вероятности имеет вид
fξ |
(X ) = |
1 |
exp(− 1 |
ϕ(X )), |
|
|
|
|
|
||||
(2π)m R |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ϕ( X ) = ( X − A)T R−1( X − A) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь приняты следующие обозначения: |
X T = (x ,..., x |
m |
) – m -мерный вектор |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
аргументов плотности вероятности; AT = (a ,..., a |
m |
) – |
m -мерный вектор пара- |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
метров; R = (Ri, j ), i, j = |
|
, |
– |
симметричная |
положительно определенная |
||||||||
1, m |
|||||||||||||
(m × m) -матрица параметров; |
R−1 – матрица, обратная матрице R; |
|
R |
|
– опре- |
||||||||
|
|
||||||||||||
делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-
тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются
16
соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-
тора ξ .
Уравнение
ϕ( X ) = ( X − A)T R−1( X − A) = c
определяет в R m гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид. При c = m + 2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n- мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное нормальное распределение. Многомерный ( m -мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:
V = (m + 2)m / 2 π m / 2 R / Γ(m2 +1) .
При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).
2.2.2. Двухмерное нормальное распределение
Если ξ = (ξ1,ξ2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нор-
мальному закону, то мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X T = (x1, x2 ) , AT = (a1,a2 ) , |
|
|
|
R |
R |
|
, |
||
|
R = |
1,1 |
1,2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R2,1 |
R2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R |
2,2 |
− R |
|
|
|
R |
= R1,1R2,2 − R1,2 R2,1 , R −1 = |
|
|
|
1,2 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|
− R2,1 |
R1,1 |
|
|
|
ϕ(X )= (X − A)T R−1 (X − A) =
=R2,2 (x1 − a1 )2 − 2R1,2 (x1 − a1 )(x2 − a2 ) + R1,1 (x2 − a2 )2 .
17
Если здесь обозначить R1,1 =σ12 , R2,2 =σ22 и выразить коэффициент ковариа-
ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1 ,ξ2 ) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле
R1,2 = R2,1 = r1,2σ1σ2 ,
то функцию ϕ( X ) можно представить в виде
|
|
|
|
1 |
|
|
(x |
− a )2 |
|
(x |
− a ) (x |
2 |
− a |
2 |
) |
|
(x |
2 |
− a |
2 |
)2 |
|
|
||
ϕ(x |
, x |
|
) = |
|
|
|
1 |
1 |
− 2r |
1 |
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
, |
||||
|
(1 − r 2 |
|
|
σ 2 |
σ1 |
σ2 |
|
|
|
|
σ 2 |
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 |
|
) |
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде
f |
|
(x , x |
|
) = |
1 |
|
− |
1 |
ϕ(x , x |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
) . |
|||||
|
ξ |
1 |
2 |
|
2πσ1σ2 1 − r12,2 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые уравнением
fξ (x1, x2 ) = c1
или уравнением
ϕ(x1, x2 ) = c ,
где c1 и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение
ϕ(x1, x2 ) = 4
определяет эллипс рассеяния, площадь которого
S = 4π R = 4π R1,1R2,2 − R2,1R1,2 .
Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ2 на ξ1
определяется выражением
x2 = a2 + r1,2 σ2 (x1 − a1 ) ,
σ1
а функция регрессии ξ1 на ξ2 – выражением
x = a + r |
σ1 |
(x |
2 |
− a |
2 |
) . |
|
|
|||||||
1 1 1,2 σ |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
18
2.2.3. Произведение одномерных гамма-распределений
Γm ((a1 , b1 ),..., (am , bm ))
|
|
|
|
|
m |
|
1 |
|
|
|
− |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f |
|
|
|
(x)= |
∏ |
|
|
|
|
xi ai −1e bi , xi > 0, bi > 0, ai > 0 |
, |
|||||
|
|
|
Γ(a |
|
)b |
a |
|
|||||||||
ξ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
i |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
xi ≤ 0. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
||
2.2.4. |
|
|
Произведение |
|
|
|
|
одномерных |
распределений |
Уишарта |
||||||
Wm ((k1 ,σ12 ),..., (km ,σm2 ))
При b |
= 2σ |
2 |
, |
a |
|
= |
ki |
произведение гамма-распределений представляет |
i |
i |
|
||||||
i |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
собой произведение одномерных распределений Уишарта.
2.2.5. Произведение одномерных распределений хи-квадрат
H m (k1 ,..., km )
При b |
= 2 , a |
i |
= |
ki |
произведение гамма-распределений представляет со- |
|
|||||
i |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
||
бой произведение распределений хи-квадрат.
2.2.6. Произведение одномерных экспоненциальных распределений
Em (λ1 ,..., λm )
При bi = λi , ai =1 произведение гамма-распределений представляет со-
бой произведение экспоненциальных распределений.
19