ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. ПОЛУЧЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
7.1.Цель работы
7.1.1.Изучение задачи получения интервальных оценок параметров распре-
делений.
7.1.2.Приобретение навыков получения интервальных оценок параметров распределений в системе Matlab.
7.2.Теоретические положения
7.2.1.Интервальные оценки параметров распределений
Доверительным интервалом для некоторого параметра θ называется интервал (θн,θв ) , накрывающий параметр θ с доверительной вероятностью γ :
P(θн <θ <θв ) = γ . |
(7.1) |
Задача получения интервальной оценки параметра распределения заключается в определении по выборке (x1, x2 ,..., xn ) нижней и верхней границ интер-
вала θн, θв . Доверительная вероятность γ выбирается близкой к 1 из набора чи-
сел {0,9; 0,95; 0,975}.
Для придания задаче однозначности уравнение (7.1) представляют в виде
двух уравнений |
|
|
P(θ >θв ) =α1 |
, |
(7.2) |
|
|
|
P(θ <θн ) =α2 , |
|
|
где α1 +α2 =1 −γ . Доверительный интервал называется симметричным, если в
(7.2) α1 =α2 =α = (1−γ ) / 2 . Таким образом, симметричный доверительный ин-
тервал удовлетворяет следующей системе уравнений:
59
|
1 −γ |
|
|
||
P(θ >θв ) = |
|
|
, |
||
2 |
|
||||
|
|
(7.3) |
|||
1 − |
γ |
||||
|
|
|
|||
P(θ <θн ) = |
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Для построения симметричного доверительного интервала для неизвестного параметра θ обычно используется статистика, представляющая собой точеч-
ную оценку θ этого параметра, или некоторая функция точечной оценки g = g(θ ) . Должен быть известен закон распределения этой статистики, то есть плотность вероятности f g (x) . В силу того, что параметр θ нам неизвестен, эта плотность вероятности будет зависеть от θ , то есть нам известна плотность вероятности статистики с точностью до параметра f g (x,θ). Для построения до-
верительного интервала для параметра θ строят “доверительный интервал” для статистики g , то есть находят gн, gв из системы уравнений
|
1 −γ |
|
|
|
P(g > gв ) = |
|
|
, |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 − |
γ |
|
|
|
|
|
|
||
P(g < gн ) = |
|
|
|
. |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение этой системы уравнений относительно gн, gв эквивалентно решению системы уравнений (7.3) относительно θн, θв .
Приведем доверительные интервалы для некоторых параметров.
7.2.2. Доверительный интервал для математического ожидания a нор-
мальной генеральной совокупности N (a,σ 2 ) при известной дисперсии σ 2
x −u1−γ |
σ |
< a < x +u1−γ |
σ |
, |
||
2 |
n |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
x = |
|
∑xi , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n n=1 |
|
|
|
60
u1−γ – 100 |
1−γ |
-процентное отклонение нормального распределения N (0,1) |
|||||
2 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
(рис. 7.1). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.1. Иллюстрация 1001−2γ -процентного отклонения нормального распре-
деления
7.2.3. Доверительный интервал для математического ожидания a нор-
мальной генеральной совокупности N (a,σ 2 ) при неизвестной дисперсии
σ 2
x −t1−γ |
|
s |
< a < x +t1−γ |
s |
, |
|
|
2 |
|
n −1 |
2 |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
s 2 |
= |
|
∑(xi − x)2 , s = s 2 , |
|
||
|
|
|||||
|
|
n n=1 |
|
|
|
|
61
t |
1−γ |
– 100 |
1 −γ |
-процентное отклонение распределения T (n −1). В силу сим- |
|
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
метричности распределения Стьюдента T1 (n −1) величина t1−γ имеет ту же
2
графическую иллюстрацию, что и величина u1−γ (рис. 7.1).
2
7.2.4. Доверительный интервал для дисперсии σ 2 нормальной гене-
ральной совокупности |
N (a,σ 2 ) |
при известном математическом ожида- |
|||||||||||||||||
нии a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ns02 |
|
< σ 2 < |
ns02 |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1−γ |
v1+γ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
s02 = |
|
1 n |
− a)2 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n=1 |
|
|
|
|
|
v1−γ , v1+γ |
– 100 |
1−γ |
- и 100 |
1+γ |
-процентные отклонения распределения H1 (n) |
||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(рис. 7.2).
7.2.5. Доверительный интервал для дисперсии σ 2 нормальной гене-
ральной совокупности N(a,σ 2 ) |
при неизвестном математическом ожида- |
|||||||||||||||
нии a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ns 2 |
|
<σ 2 < |
ns 2 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
w |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−γ |
|
|
|
1+γ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
где w |
, w |
– 100 |
1−γ |
- и 100 |
1+γ |
-процентные отклонения распределения |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
1−γ |
1+γ |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
H1 (n −1) (рис. 7.2 ).
62