ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
4.1.Цель работы
4.1.1.Изучение методов моделирования многомерных случайных чисел.
4.1.2.Приобретение навыков моделирования многомерных случайных чисел в системе Matlab.
4.2.Теоретические положения
4.2.1.Моделирование случайных чисел с многомерным нормальным (гауссовским) распределением
Пусть требуется моделировать значения m -мерного случайного вектора ξ = (ξ1 ,...,ξm ), распределенного по нормальному закону N ( A, R) с математиче-
ским ожиданием A и ковариационной матрицей R,
A = (ai ) , R = (σi, j ) , i, j =1, m .
Обозначим η = (η1 ,...,ηm ) – стандартный гауссовский k -мерный случайный вектор, то есть случайный вектор, распределенный по нормальному закону N(0, I ) , где I – единичная матрица. Методы моделирования базируются на сле-
дующем результате. |
|
|
|
||||||
Теорема. Пусть C = (ci, j ) – действительная |
(m × m) -матрица, являющаяся |
||||||||
решением матричного уравнения |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
CCT = R . |
(4.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда случайный векторξ |
, являющийся линейным преобразованием |
η |
, |
||||||
|
|
|
|
= C |
|
+ A , |
(4.2) |
||
|
|
ξ |
η |
||||||
имеет нормальное распределение N ( A, R) . |
|
|
|
||||||
40
Моделирование η легко осуществляется. Действительно, компоненты этого вектора η1 ,...,ηm некоррелированы, следовательно, и независимы. распределе-
ние отдельной компоненты ηi – стандартное нормальное N (0,1) . Поэтому мо-
делирование η можно выполнить m -кратным обращением к функции модели-
рования случайного числа с одномерным стандартным нормальным распределением N (0,1) .
|
|
|
|
, известные в литературе, отличаются |
|||||||||
|
|
Различные методы моделирования ξ |
|||||||||||
лишь способом построения матрицы C. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Один из методов использует неединственность решения (4.1) |
и требует, |
||||||||||
чтобы C была нижней треугольной матрицей: |
сi, j = 0, |
если |
j > i . |
Ненулевые |
|||||||||
элементы |
сi, j определяются |
рекуррентно. |
Действительно, в |
силу (4.2) |
|||||||||
ξ |
1 |
= c |
η |
1 |
+ a . Выражение (4.1) |
дает соотношение c2 |
=σ |
1,1 |
. Следовательно, |
||||
|
1,1 |
1 |
|
|
|
1,1 |
|
|
|
||||
c1,1 = |
σ1,1 . Теперь из (4.2) получим |
|
|
|
|
|
|||||||
ξ2 = c2,1η1 + c2,2η2 + a2 ,
а из (2.1) имеем
|
|
|
c22,1 + c22,2 =σ2,2 , |
|
|
|||
|
|
|
c2,1c1,1 |
=σ1,2 . |
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2,1 |
= |
σ1,2 |
, c2,2 |
= |
σ2,2 |
− c22,1 , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
c1,1 |
|
|
|
|
|
|
и т.д. Справедлива общая рекуррентная формула |
|
|
|
|||||
|
j−1 |
|
|
j−1 |
2j,ν . |
|
||
ci, j = (σi, j − ∑ci,ν c j,ν ) / |
σ j, j − |
∑c |
(4.3) |
|||||
|
ν=1 |
|
|
ν=1 |
|
|
||
Здесь
0
∑( ) =0 ,
ν =1
и вычисления по рекуррентной формуле (4.3) осуществляются по строкам мат-
41
рицы С, то есть в следующем порядке: c1,1 , c2,1 , c2,2 , c3,1 , c3,2 , c3,3 , c4,1 ,..., cm,m .
Таким образом, моделирующий алгоритм определяется формулами (4.3), (4.2).
4.2.2. Моделирование случайных чисел с многомерным распределением, равным произведению одномерных гамма-распределений
Γm ((a1 , b1 ),..., (am , bm ))
|
|
|
|
m |
|
1 |
|
|
|
− |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
|
(x)= |
∏ |
|
|
|
|
xi ai −1e |
bi |
, xi > 0, bi > 0, ai > 0 , |
||
|
|
Γ(a |
|
)b |
|
a |
|||||||
ξ |
|
|
|
||||||||||
|
|
i=1 |
i |
|
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
xi ≤ 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
||
4.2.3. Моделирование случайных чисел с многомерным распределением, равным произведению одномерных распределений Уишарта
Wm ((k1 ,σ12 ),..., (km ,σm2 ))
При |
b |
= 2σ |
2 |
, |
a |
|
= |
ki |
произведение гамма-распределений представляет |
i |
i |
|
|||||||
|
i |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
собой произведение одномерных распределений Уишарта.
4.2.4. Моделирование случайных чисел с многомерным распределением, равным произведению одномерных распределений хи-квадрат
H m (k1 ,..., km )
При b |
= 2 , a |
i |
= |
ki |
произведение гамма-распределений представляет со- |
|
|||||
i |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
||
бой произведение распределений хи-квадрат.
42