Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:
Смешанное произведение
Смешанное произведение (a, b, c) векторов a, b, c — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.
Свойства
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
С
мешанное
произведение (a,
b, c)
в правой декартовой системе координат
(в ортонормированном базисе) равно
определителю матрицы, составленной из
векторов a,
b и
c:
Геометрический смысл — Смешанное произведение (a, b, c) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a, b и c; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Двойное векторное произведение
Тройное векторное произведение (другое название: двойное векторное произведение) [a, b, c] векторов a, b, c — векторное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c
В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным (по числу векторов), так и двойным (по числу операций умножения).
Свойства
Формула Лагранжа
Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа,
которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».
Доказательство
Выберем
правый ортонормированный базис
так, чтобы
Тогда
и
Таким образом,
Тождество Якоби
Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби
которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа
Признаки ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов
Признак ортогональности векторов – их скалярное произведение равно 0:
(a, b)=0
Признак коллинеарности векторов – их векторное произведение равно 0:
[a, b]=0
Признак компланарности векторов – их смешанное произведение равно 0:
(a, b, c ) =0
Оглавление
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1
1. Аксиоматика линейных пространств. 1
2. Примеры линейных пространств 2
3. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов. 4
4. Базис. Размерность. Координаты. 5
5. Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки. 7
6. Переход к новому базису. 7
7. Евклидовы пространства. 8
8. Ортогональные системы векторов. 9
9. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. 11
10. Геометрические векторные пространства R1, R2, R3. 11
Свойства векторного произведения 13
Выражение для векторного произведения в декартовых координатах 13
Смешанное произведение 14
Двойное векторное произведение 14
Признаки ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов 16