10. Геометрические векторные пространства r1, r2, r3.

Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства

R¹, R², R³ . Пространство Rⁿ при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.

1) Пусть дана система из двух векторов a и b. Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a , линейно выражается через другой:

a = kb.

Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только

тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R³, но и к любому линейному пространству.

2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c. Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a , линейно выражается через остальные:

а= kb+ lc. (*)

Если считать, что все векторы a, b, c имеют общее начало, то из (*) следует, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Определение. Три вектора a, b, с в R³, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными

(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).

Рис.

Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.

Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними: ;

• вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;

• вектор c направлен так, что тройка векторов a, b, c является правой;

Обозначение:

Р ассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А). Концы векторов, совмещённых началами в точке А, не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Свойства векторного произведения

Представление	Описание
	свойство антикоммутативности
	свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
	свойство дистрибутивности по сложению
	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
	значение этого выражения (число) называют смешанным произведением векторов a, b, c и обозначают (a, b, c ) либо <a, b, c>
Модуль векторного произведения [a, b] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. Рисунок) Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка (a, b, e) — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула: