2.2. Содержание понятия

Совокупность мыслимых в понятии признаков каких-либо объектов образует содержание понятия этих объектов. В частности, мыслимые признаки «являться рельсовым транспортным средством», «иметь специ­альное оборудование для перевозки людей и грузов» составляют содер­жание понятия «вагон». Каждое понятие имеет свое содержание. Если отвлечься от конкретного характера мыслимых признаков, входящих в содержание понятия, то содержание понятия - это некоторое число (для разных понятий оно может быть разным) мыслимых в нем признаков. Содержание, например, приводившегося выше понятия приговора вклю­чает 4 признака, понятия вагона - 2 признака.

Если содержание понятия состоит только из взаимно независимых признаков, то оно называется основным содержанием понятия. Однако существуют понятия, содержание которых не сводится к совокупности независимых признаков, но включает в себя еще и производные призна­ки. Например, в содержание понятия «багульник» входит пять признаков «принадлежать к семейству вересковых» (Р₁(х)), «на торфяных болотах» (P₂(x)), «быть ядовитым» (P₃(x)), «быть вечнозеленым» (P₄(x)), «быть кустарником» (P₅(x)). Среди перечисленных признаков два признака («быть вечнозеленым» и «быть кустарником») являются производными от признака «принадлежать к семейству вересковых», т.к. все представи­тели вересковых всегда являются кустарниками и вечнозелеными. Со­держание понятия, состоящее из основных и производных признаков объектов, называют полным. Поэтому признаки указанного понятия до­пустимо рассматривать как частично упорядоченные отношением зави­симости.

Иные элементы структурности содержания понятия появляются также и тогда, когда в содержании фиксируются альтернативно реали­зуемые признаки. Как раз этот случай имеет место для понятия «диаго­наль». Содержание этого понятия состоит из трех признаков: «являться отрезком прямой» Р₁(х), «соединять две вершины многоугольника, не принадлежащие одной из его сторон» Р₂(х), «соединять две вершины многогранника, не принадлежащие одной из его граней» Р₃(х). Это со­держание может быть представлено предикатной формулой вида Л(х) л (Р2(х) V (Рз(х)).

Системная структура содержания понятия, взятая в «чистом» виде, дает обязательно обобщенную информацию о логическом содержании понятия.

2.3. Объем понятия

Понятие характеризуется не только содержанием, но и объемом. Множество всех тех объектов, которым присущи все входящие в содер­жание понятия признаки, образуют объем соответствующего понятия. Например, множество всех рельсовых транспортных средств, оборудо­ванных для перевозки людей и/или грузов, образует объем понятия «ва­гон». Множество всех живых существ, обладающих способностью к ра­зуму и речи, составляет объем понятия «человек».

Объекты, принадлежащие объему, называются элементами объема. Элемент находится в отношении принадлежности к объему, которое сле­дует отличать от отношения включения части (подмножества) элементов в объем. Это значит, что термин «часть» в смысле составной «детали» какого-либо предмета, системы, явления к логике не относится. Так, ста­билизатор, конечно, является составной частью самолета, но объем по­нятия «стабилизатор» не является частью объема понятия «самолет». Множеству стабилизаторов принадлежат стабилизаторы как таковые, а множеству самолетов - только самолеты. Объемы этих двух понятий со­стоят из различных элементов.

В логике объем обычно называется не множеством, а классом, хотя термины «множество» и «класс» рассматриваются при этом как равно­значные.

Если в содержании понятия мыслятся признаки-свойства, то элемен­тами его объема будут отдельные индивиды. К объему понятия «барель­еф», например, будут относиться отдельные индивиды - барельефы. Ес­ли же в содержании понятия мыслятся признаки-отношения, то объему понятия будут принадлежать упорядоченные двойки, тройки и т.д. объ­ектов. Так объему понятия «равно» будут принадлежать все (упорядо­ченные) пары объектов, связанных отношением равенства.

Объем понятия в общем случае не следует отождествлять с сово­купностью действительно существующих объектов. Даже в тех случаях, когда понятие ориентировано на реально существующие предметы, его объем не ограничивается множеством действительно существующих объектов. Если в качестве примера взять понятия «планета Солнечной системы», «континент планеты Земля», то в принципе их объемы могут

охватывать и существовавшие когда-то и могущие возникнуть новые планеты и континенты. Кроме того, в некоторых случаях объему понятия вообще не принадлежат действительно существующие объекты (в случае понятий об идеализированных, фантастических объектах). Таким обра­зом, объем - это в определенном отношении «абстрактная вещь».

Для символического представления понятий в логике обычно ис­пользуются латинские буквы A, B, C, ... Символизация конкретных по­нятий в явном виде осуществляется с использованием, например, знака эквивалентности «=». Так, символизировать понятие «диагональ» можно с помощью записи A = «диагональ», которая означает, что действует до­говор: в ходе некоторого конкретного рассуждения понятие «диагональ» представляется знаком A. При этом необходимо соблюдать следующий принцип обозначения: один и тот же знак везде в контексте рассуждения будет обозначать одно и то же понятие, а разные знаки будут представ­лять разные понятия.

Принадлежность некоторого элемента a объему какого-либо поня­тия А символически записывается в виде аеА. Запись читается: «а явля­ется элементом объема понятия А». Запись вида а^А означает, что объ­ект а не принадлежит объему понятия А.

Рис. 1

По сложившейся в логике традиции объем понятия А наглядно изо­бражается в виде круга. При этом знак понятия ставится либо около цен­тра круга (рис. 1), либо на пересечении с окружностью (рис. 2):

О

Рис. 2

Второй или комбинированный способ особенно удобен для анализа сложных круговых схем.

Круги для изображения объемов называют эйлеровыми по имени знаменитого математика Л. Эйлера, впервые, как считается, предложив­шего их использование. Внутренняя часть круга символизирует сово­купность объектов, составляющих объем понятия, тогда как часть плос­кости вне круга символизирует множество тех объектов, которые не принадлежат объему понятия. По отношению к одному виду понятий ло­гика делает исключение, изображая его объем не кругом, а прямоуголь­ником. Речь идет о понятиях, объем которых совпадает с универсумом.