Практична робота №1

Тема: Класифікація погрішностей. Абсолютна та відносна погрішність

Мета: ознайомитись з теорією погрішностей, виробити навички роботи з підрахунками погрішностей, застосування формул погрішностей елементарних функцій і арифметичних дій.

Теоретичні відомості

Абсолютна та відносна похибки.

Мірою точності наближеного числа є похибка. Розрізняють абсолютну та відносну похибку наближеного числа.

Нехай x – це наближене подання числа x₀. Тоді величина Δ=|x – x₀| називається абсолютною похибкою подання числа x₀ за допомогою числа x. На практиці використовують максимально можливе значення Δ– число Δx, що задовольняє нерівність Δ≤Δx.

Δx називають максимальною, або граничною абсолютною похибкою. При цьому, має виконуватися умова, що Δx << |x| (знак << означає “значно менше”).

Проте, абсолютна похибка не демонструє якості обчислення або вимірювання – важливе значення абсолютної похибки, що припадає на одиницю вимірювання.

Величину називають відносною похибкою подання числа x₀ числом x. Так само як і у випадку з абсолютною похибкою, вводять поняття максимальної, або граничної відносної похибки Δx, що задовольняє нерівність δ≤δx .

На практиці використовують формулу: .

Очевидно, що δx << 1.

Відносну похибку зазвичай вимірюють у відсотках. Крім того, відносну похибку завжди округлюють із надлишком.

Треба зауважити, що наведені оцінки похибок наближених чисел справедливі лише, якщо запис цих чисел містить всі значущі цифри.

Значущою цифрою наближеного числа називають всяку цифру в його десятковому поданні починаючи з першої зліва ненульової цифри.

Проте, точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від кількості вірних значущих цифр.

Кажуть, що наближене значення x, що записане у вигляді десяткового дробу, має n вірних десяткових знаків у вузькому розумінні, якщо абсолютна похибка цього числа не перевершує половини одиниці n-го розряду в запису числа x.

У деяких випадках зручно говорити, що число x є наближенням точного числа x₀ з n вірними десятковими знаками в широкому розумінні, розуміючи під цим, що абсолютна похибка x не перевищує одиниці десяткового розряду, що виражається n-ою значущою цифрою наближеного числа.

Похибки округлення.

У тих випадках, коли наближене число містить зайву кількість невірних значущих цифр, удаються до округлення.

При округленні використовують наступне правило округлення. Якщо в старшому з розрядів, що відкидаються, стоїть цифра менша п'яти, то вміст розрядів, що зберігаються, не міняється. У противному випадку, в молодший розряд, що зберігається, додається одиниця.

Очевидно, що абсолютна похибка округлення не перевершує половини одиниці молодшого розряду, що залишається.

При округленні наближеного числа його абсолютна похибка збільшується з урахуванням похибки округлення.

Завдання №1. Обчислення граничної відносної похибки.

1. Визначити граничну відносну похибку _S обчислення площини кола з діаметром D=8,25 см². (Площина кола обчислюється за формулою S=πD²/4)

2. Визначити граничну відносну похибку _S обчислення площини квадрата зі стороною а=5,25 см.

3. Визначити граничну відносну похибку ₁ обчислення довжини кола з радіусом r=7,20 см. (Довжина кола обчислюється за формулою l=2πr)

4. Визначити граничну відносну похибку _r обчислення радіуса кола, довжина якого l=12,40 см. (Довжина кола обчислюється за формулою l=2πr)

5. Визначити граничну відносну похибку _E обчислення кінетичної енергії кулі з масою m=10 г, що рухається зі швидкістю v=5,15 м/с. (Кінетична енергія E=mv²/2)

6. Визначити граничну відносну похибку _V швидкості руху кулі з масою m=10 г, кінетична енергія якої E=2,30 Дж. (Кінетична енергія E=mv²/2)

7. Визначити граничну відносну похибку _E обчислення енергії, що зберігає конденсатор, напруга на якому U=10,20 В (Енергія обчислюється за формулою E=cU²/2)

8. Визначити граничну відносну похибку _E обчислення енергії, що зберігає індуктивність, якщо крізь неї протікає струм I=0,75 A (Енергія обчислюється за формулою E=LI²/2).

Зразок розв’язання

1. Визначити граничну відносну похибку _S обчислення площини кола з діаметром D=8,25 см². (Площина кола обчислюється за формулою S=πD²/4)

Відповідь