Тема 1.5. Комплексный метод расчета электрических цепей

Программа

Выражение синусоидальных напряжений и токов с помощью комплексных чисел. Комплексные сопротивления и проводимости. Комплексная мощность. Законы Ома и Кирх­гофа в комплексной форме.

Распространение на цепи синусоидального тока методов расчета цепей постоянного тока.

Преобразование схем элек­трических цепей. Топографические диаграммы.

Понятие об индуктивно связанных цепях. Согласное и встречное включение катушек.

Методические указания

Расчет электрических цепей переменного тока значитель­но упрощается с применением комплексных чисел. Расчет производится по формулам, аналогично применяемым в це­пях постоянного тока. Для этого необходимо уметь представ­лять ток, напряжение, сопротивление, проводимость и мощ­ность в комплексном виде.

При применении символического метода необходимо при­держиваться общепринятых обозначений. Над буквами обоз­начающими комплексы напряжений, токов, ЭДС, следует

ставить точку: . Комплексы полного сопротивления и полной проводимости обозначаются .

Комплекс полной мощности обозначается :

,

где означает, что речь идет о комплексе, сопряженном комплексу тока.

Если комплекс тока = то сопряженный ему

комплекс тока будет . Аргумент у сопряженного комплекса имеет обратный знак,

Обратите, внимание на то, что сложение и вычитание комплексов производится в алгебраической форме записи комплексов, а умножение и деление — в показательной фор­ме. При расчете электрических цепей часто возникает необ­ходимость в переходе от алгебраической формы комплекса к показательной или наоборот. Примеры действия с комплексными числами

а) Сложение и вычитание комплексных чисел.

Для сложения и вычитания комплексных чисел они записываются в алгебраической форме

При сложении (вычитании) комплексов складываются (вычитаются) отдельно их действительные и мнимые части.

Пример 1. Определить сумму С комплексных чисел А = 4+j6 и В = -3+j2

Решение. Сумма С = (4+j6) + (-3+j2) = (4-3) + j(6+2) = 1+ j8

Пример 2. Определить разность С комплексных чисел А = 80+j90 и В = 50-j30

Решение. Разность С = (80+j90) - (50-j30) = (80-50)+ j(90-(-30)) = 30+ j120

Пример 3. Определить сумму С комплексных чисел А = 10 и В =6

Решение. Выразим комплексные числа в алгебраической форме:

А = 10 = 10 = 7,07 + j7,07

В =6 = 6 = 5,2 – j3.

Складывая, получаем

С = А+В = (7,07 + j7,07) + (5,2 – j3) = 12,27 + j4,07.

Модуль суммы

С = = 12,9.

Тангенс угла

=0,331; =

Сумма, выраженная в показательной форме, С =12,9

а) Умножение и деление комплексных чисел.

Произведение двух комплексов представляет собой новый комплекс, модуль которого равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов перемножаемых комплексов.

Пример 4. Определить частное С от деления комплексов А = 2+j4 и В = 0,8+j0,4

Решение С =

А = 2+j4= , где ; = 70⁰

А =4,47

В = 0,8+j0,4= , где ; = 30⁰

В=1

С = =4,47 =4,47( = 3,6 2,6

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается удобство комплексного метода-расчета электрических цепей?

2. Что собой представляет модуль и аргумент комплекса?

3. Какие существуют три формы записи комплексного числа?

4. Как запишется комплекс полного сопротивления по­следовательной цепи, содержащей r и С?

5. Как записать закон Ома в комплексной форме?

6. Как записать полную мощность цепи в комплексной форме?

7. Какова методика расчета цепей переменного тока сим­волическим методом?

8. Какой комплекс тока называется сопряженным?