Уравнение линейной парной регрессии.

П усть между переменными и теоретически существует некоторая линейная зависимость. Это утверждение может основываться на том, что корреляционное поле для пар имеет, например, такой вид (рис. 2)

Как видим, в действительности между признаками и наблюдается не такая тесная связь, как предполагает функциональная зависимость.

Отдельные наблюдаемые значения, как правило, отклоняются от ожидаемой линейной зависимости под воздействием случайных факторов, которые в большинстве неизвестны. Отклонения от ожидаемой линейной формы связи могут возникнуть вследствие неправильной спецификации уравнения, т.е. еще с самого начала неправильно выбрано уравнение, которое описывает зависимость между и .

Допустим, что вид уравнения выбран правильно. Учитывая влияние на значения возмущающих случайных факторов, линейное уравнение связи и можно представить в таком виде:

,

где и - неизвестные параметры регрессии;

- случайная величина, которая характеризует отклонение от гипотетической теоретической регрессии.

В результате статистических наблюдений исследователь получает значения для независимой переменной и соответствующие значения зависимой переменной .

Следовательно, необходимо определить параметры , . Но истинные значения этих параметров получить невозможно, т.к. мы пользуемся информацией, полученной от выборки ограниченного объема. Поэтому найденные значения параметров будут лишь статистическими оценками истинных (неизвестных нам) параметров , . Если обозначить параметры , , которые получили способом обработки выборки, то модели

соответствует статистическая оценка

.

На практике чаще всего параметры , определяются методом наименьших квадратов, разработка которого принадлежит К.Гауссу и П.Лапласу.

В соответствии с этим методом уравнение линейной регрессии необходимо выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от линии регрессии была бы минимальной

Решив полученную систему относительно параметров , (см. методическое пособие, часть 2), получим

;

.

Корреляционный момент, выборочный коэффициент корреляции

Во время исследования двумерного статистического распределения выборки возникает необходимость выяснить наличие связи между признаками и , которую в статистике называют корреляционной. Для этого вычисляется эмпирический корреляционный момент по формуле

Если , то корреляционной связи между признаками и нет. Если то эта связь существует.

Т.е. корреляционный момент дает лишь ответ на вопрос: есть связь между признаками и или ее нет.

Для измерения тесноты корреляционной линейной связи вычисляется выборочный коэффициент корреляции по формуле

,

где . Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем корреляционная связь ближе к функциональной.

3.9. Задачи типа 441-450.

Пример. Зависимость растворимости тиосульфата от температуры представлена парным статистическим распределением выборки

	33,5	37,0	41,2	46,1	50,0	52,9	56,8	64,3	69,9
	0	10	20	30	40	50	60	70	80

Необходимо:

5. Построить корреляционное поле зависимости признака от .

6. Найти точечные статистические оценки , для параметров , парной линейной функции регрессии .

7. Вычислить выборочный коэффициент корреляции .

8. Построить график линии регрессии.

Р ешение. 1. Корреляционное поле зависимости признака от имеет такой вид (рис. 3). Как видим, с увеличением признака , зависимая переменная имеет тенденцию к увеличению.

Допустим, что между признаками и существует линейная функциональная зависимость

.

2. Для определения параметров , составим следующую таблицу

№ п/п	хі	уі		хі уі
1	0	33,5	0	0	1122,25
2	10	37,0	100	307	1369,00
3	20	41,2	400	824	1697,44
4	30	46,1	900	1383	2125,21
5	40	50,0	1000	2000	2500,00
6	50	52,9	2500	2645	2798,41
7	60	56,8	3600	3408	3226,24
8	70	64,3	4900	4501	4134,49
9	80	69,9	6400	5592	4886,01
Σ	360	451,7	20400	20723	23859,05

Воспользуемся формулами

Так как n = 9,

получим

Следовательно, уравнение регрессии будет таким

3. Вычислим коэффициент корреляции по формуле

Как видим, коэффициент корреляции близок по своему значению к единице, что свидетельствует о том, что зависимость между и практически линейная.

4. График парной линейной функции регрессии представлен на рис. 4. 