5.4.5 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей при неизвестных, но равных дисперсиях
Имеются две выборки разных объемов x1 ,..., xm и y1 ,..., yn из двух нормаль-
ных генеральных совокупностей N (a1, σ 2 ) и N (a2 ,σ2 ) соответственно, в
предположении, что дисперсии генеральных совокупностей равны между собой, но неизвестны. Требуется проверить гипотезу о том, что математические ожидания этих распределений равны, то есть проверить двухальтернативную параметрическую сложную гипотезу
{H 0 : a1 = a2 ; H1 : a1 ≠ a2 }.
Для решения этой задачи рассмотрим t -критерий Стьюдента, который осно-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m |
ван на сравнении выборочных средних. Пусть x = |
|
|
∑xi – выборочное сред- |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m i=1 |
||
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
нее первой генеральной совокупности, y = |
|
∑ yi |
– выборочное среднее вто- |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
||
рой генеральной совокупности. Как известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x N (a , |
σ 2 |
) , y N |
(a |
|
, |
σ 2 |
) . |
||||
m |
|
|
n |
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Тогда
z = x − y N (a1 − a2 , σm2 + σn2 ) .
Если проверяемая гипотеза H0 верна, то есть a1 = a2 , то
z N (0, σ 2 (m + n)) mn
и
u = |
z |
= |
(x − y) mn |
N (0,1) . |
|
D(z) |
|
σ m + n |
|
87
Поскольку σ в данном выражении неизвестна, статистика u неприменима для проверки гипотезы, и мы продолжим поиск подходящей для этого статистики. Мы знаем, что
|
ms 2 |
|
|
|
|
|
ns y2 |
|
|
|
vx = |
x |
H1( m −1) , |
|
v y = |
|
|
H1( n −1). |
|
||
|
|
|
σ 2 |
|
||||||
|
σ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = vx + v y = |
msx2 |
+ ns y2 |
H1( m + n − 2 ). |
|
|||||
|
σ 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, что v не зависит от u , поскольку vx и v y |
не зависят от u . Тогда ста- |
|||||||||
тистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = u |
m + n − 2 T ( m + n − 2 ). |
|
||||||
|
|
v |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя сюда выражения для u и v , получим |
|
|
|
|
||||||
|
t = ( x − y ) |
mn( m + n −2 ) T ( m + n −2 ). |
(5.8) |
|||||||
|
|
m + n |
|
msx2 |
+ ns y2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Статистика t не содержит неизвестных параметров и известен ее закон распределения. Следовательно, она пригодна для проверки сформулированной гипотезы. Гипотеза проверяется следующим образом. Задавшись уравнением значимости α , по таблице процентных отклонений распределения T1( m + n −2 ) на-
ходим величину tα / 2 , удовлетворяющую равенству p( t > tα / 2 ) =α . Затем на-
ходим эмпирическое значение статистики tэ по формуле (5.8). Если окажется,
что tэ > tα / 2 , то гипотеза H0 отклоняется в пользу гипотезы H1 .
5.4.6 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
88
Имеются две выборки разных объемов x1 ,..., xm и y1 ,..., yn из двух нормаль-
ных генеральных совокупностей N (a1 ,σ12 ) и N (a2 ,σ22 ) соответственно, в ус-
ловиях, когда все параметры неизвестны. Требуется проверить гипотезу о том, что дисперсии этих распределений равны, то есть проверить двухальтернативную параметрическую гипотезу {H 0 ,H1}, где
H 0 :σ12 =σ22 .
Для проверки этой гипотезы используется статистика
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
|
|
|
x |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 2y |
|
|
|
|
|
|||
где sx2 , s 2y – несмещенные выборочные дисперсии |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sx2 = |
|
|
∑(xi − x)2 , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
m − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 i=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
s |
2y = |
|
∑( yi − y)2 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n − |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1i=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Легко показать, что если H 0 верна, то |
|
f F1( m −1,n −1). Действительно, по- |
|||||||||||||||||||||
скольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m −1)sx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)s 2y |
|
|
|
||||
v = |
|
|
H1 (m −1) , |
|
w = |
|
|
H1 |
(n −1) |
, |
|||||||||||||
σ 2 |
|
|
σ |
2 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
и σ12 =σ22 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = |
v |
|
: |
w |
= |
sx2 |
F (m −1, n −1) . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
m −1 |
|
n −1 |
|
|
|
s 2y |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для проверки гипотезы |
{H 0 :σ12 =σ22 ; |
|
H1 :σ12 ≠σ22 } используется двухсто- |
||||||||||||||||||||
ронний критерий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( f > fα ) = α2 ,
2
89