4 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

4.1 Постановка задачи

Доверительным интервалом для некоторого параметра θ называется интервал (θн,θв ) , накрывающий параметр θ с доверительной вероятностью γ :

а разность (θв −θн ) – длиной доверительного интервала. Доверительная веро-

ятность γ выбирается близкой к 1 из набора чисел { 0,9; 0,95; 0,975 } . Довери-

тельный интервал для параметра θ называют также интервальной оценкой этого параметра.

Задача построения доверительного интервала для параметра распределения формулируется следующим образом. Известна плотность вероятности генеральной совокупности с точностью до параметра θ , то есть известна fξ ( x,θ ).

Требуется по выборке x1 ,x2 ,...,xn из этой совокупности найти интервал (θн,θв )

вида (4.1). Поскольку доверительный интервал строится по выборке, то доверительные пределы будут различными для различных выборок, то есть величины θн , θв являются случайными.

Поскольку две границы доверительного интервала определяются из одного уравнения (1), то существует бесконечное множество интервалов, удовлетворяющих этому уравнению.

Для придания задаче однозначности от уравнения (4.1) переходят к двум уравнениям:

63

где α1 +α2 =1 − γ .

Доверительный интервал называется симметричным, если в (4.2) α1 =α2 =α =(1 − γ ) / 2 . Симметричный интервал строится на основании сле-

дующей системы уравнений:

Чаще всего строят симметричные доверительные интервалы.

4.2 Методика построения симметричного доверительного интервала

Для построения симметричного доверительного интервала для неизвестного параметра θ обычно используется статистика, представляющая собой некото-

рую функцию g = g(θ ) точечной оценки θ . Должен быть известен закон рас-

пределения этой статистики, например, плотность вероятности f g ( x ). В силу того, что параметр θ нам неизвестен, статистика g = g(θ ) оказывается завися-

щей также от параметра θ , то есть g = g(θ ,θ ). Для построения доверительно-

го интервала для параметра θ строят “доверительный интервал” для статистики

64

где γ – доверительная вероятность. Уравнения (4.4) иллюстрируются с помо-

щью рис. 4.1, на котором приведен график плотности вероятности f g ( x ) и

обозначены величины gн, gв, 1 − γ .

2

Рис. 4.1. Иллюстрация методики построения доверительного интервала

Решение задачи (4.4) эквивалентно решению задачи (4.3) и в итоге – задачи

(4.1). Действительно, в силу зависимости g = g(θ ,θ ) интервал вида

P( g н < g(θ ,θ ) < gв ) = γ

можно преобразовать к виду (4.1).

В разделах 4.3 – 4.7 по изложенной методике получены доверительные интервалы для параметров нормального распределения и вероятности появления случайного события A .

65

4.3 Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии

Пусть известна выборка x1 , x2 ,..., xn из генеральной совокупности N (a,σ 2 ) ,

и требуется построить доверительный интервал для математического ожидания

aпри условии, что дисперсия σ 2 по каким-то соображениям нам известна. Воспользуемся изложенной в п. 4.2 методикой. Возьмем точечную оценку

Эти уравнения можно проиллюстрировать с помощью рис. 4.1 при замене g на u . В силу симметричности распределения N (0,1) имеем uн = −uв . Обозначим

ления N (0,1) (таблица 4.1). Более подробную таблицу можно найти в [13].

Таблица 4.1 Процентные отклонения нормального распределения N (0,1) , P( u > uα ) =α

В итоге получим

66