Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Структуры и алгоритмы обработки данных

Файл:

СМОД – Статистические методы обработки данных / СМОД_Часть1 Муха ВС, БГУИР 2007 (Мет пособие).pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

	Γ(		n + m			)			n m
	Γ(					)
			2

								n 2 m 2
		n			m			n 2 m 2
f f (x) =		n			m
	Γ(			)Γ(			)
	Γ(	2		)Γ(	2		)
				x < 0.
0,				x < 0.

	m	−1
x 2		−1
x 2			, x ≥ 0,
		n+m	, x ≥ 0,

(n + mx) 2

Это несимметричные кривые, расположенные на положительной полуоси абсцисс, которые достигают максимума вблизи точки x =1.

Для практического использования этого распределения существуют таблицы процентных отклонений, которые позволяют для фиксированных m , n и α

найти число	fα , удовлетворяющее равенству
	P( f > fα ) =α ,
и наоборот,	по m , n и fα найти α . Величины fα и α отмечены на рис. 3.3

штриховкой.

Из определения распределения Фишера вытекает, что если f F1( m,n ), то f −1 F1( n,m ).

3.4 Распределения некоторых статистик для нормальной генеральной совокупности

Теорема 3.1. Если x1 , x2 ,..., xn – выборка из распределения N (a,σ 2 ) , x –

выборочное среднее, s 2 – выборочная дисперсия, s 2 – несмещенная выбороч-

ная дисперсия, s02 – выборочная дисперсия при известном математическом ожидании (см. разделы 1.8, 1.9), то

u = x − a			n N (0,1) ,	(3.2)
	σ
	ns 2
v =	0	H1( n ),		(3.3)
v =	σ 2	H1( n ),		(3.3)
	σ 2

w =

ns 2

(n −1)s 2

H1 (n −1) ,

σ 2

t = x − a n −1 = x − a n T ( n −1),

причем величины u и v независимы.

Доказательство утверждения (3.2). Рассмотрим выборочное среднее

∑xi

= ∑

n i=1

i=1

где x , x

,..., x

– независимые случайные величины. Обозначим η

(3.4)

(3.5)

. Эти

величины имеют распределение

N (

)

и характеристические функции

v − v

θηi (v) = exp j

Поскольку x = ∑ηi , то по теореме о произведении характеристических функ-

i=1

ций [14] получим

−

θx (v) = ∏θηi (v) = exp jv ∑

i=1

i=1 n

Отсюда видно, что

x N( a,

σ 2

) ,

x − a

n N( 0,1) .

Доказательство утверждения (3.3). Поскольку

(xi

− a) N (0,σ 2 ) ,

то

− a)

v = ∑

= ∑ui2 ,

σ 2

i=1

∑n σ 2 .

i=1 n2

где ui = (xiσ− a) N (0,1) . По определению распределения хи-квадрат (раздел

3.1) получаем утверждение (3.3).

Доказательство утверждения (3.4). Для доказательства нам понадобятся понятие ортогональной матрицы и лемма Фишера.

Квадратная матрица С =( сi, j ) , i, j =1,n , называется ортогональной, если

CCT = I . Отсюда следует, что СT = С−1 , СT С = I , матрица СT также ортогональная, и справедливы равенства

n	1	при i =	j,	(3.6)
∑ci,k c j ,k	=	при i ≠	j,	(3.6)
k =1	0	при i ≠	j,
n	1 при i = j,
∑ck ,i ck , j	=	при i ≠ j.
k =1	0	при i ≠ j.

Если дано произвольное число p < n строк матрицы C , для которых выполня-

ются соотношения (3.6),

то можно всегда найти еще n − p строк,

таких, что,

добавляя их,

мы получим ортогональную матрицу размером n × n . Линейное

преобразование Y = CX ,

где X T =( x

, x

,..., x

) , Y T

=( y

, y

,..., y

), называ-

ется

ортогональным

преобразованием.

Квадратичная

форма

X T X = x2

+ x2

+ ... + x 2

инвариантна относительно такого преобразования, т.е.

она преобразуется в форму Y T C T CY =Y T Y = y

+ y 2

+ ... + y 2

с той же матри-

цей I .

Лемма Фишера [12]. Пусть X T =( x , x

,..., x

) – вектор из независимых

случайных величин xi ,

каждая из которых имеет нормальное распределение

N( 0,σ 2 ) ,

Y = CX

–

ортогональное

преобразование,

вводящее вместо

x1 ,x2 ,...,xn

новые величины y1 , y2 ,..., yn .

Если задано лишь некоторое число

p < n случайных величин y1 , y2 ,..., y p этого преобразования, то величина

Q = ∑xi2 − y12 − y22 − ... − y 2p

(3.7)

i=1

независима от y1 , y2 ,..., y p и Q / σ 2 имеет распределение H1( n − p ) , т.е. рас-

пределение хи-квадрат с n − p степенями свободы.

Доказательство леммы Фишера. В силу изложенного выше относительно ортогонального преобразования величины yi некоррелированы и нормальны с распределением N( 0,σ 2 ) , следовательно, и независимы. Если задано лишь не-

которое число p < n случайных величин y1 , y2 ,..., y p , удовлетворяющих орто-

гональному преобразованию, то, как указано выше, можно найти еще n − p

строк матрицы C с номерами p +1, p + 2 , …, n , таких, что полная матрица C

будет ортогональной. Если к переменным x1 ,x2 ,...,xn , y1 , y2 ,..., y p из квадра-

тичной формы (3.7) применить указанное ортогональное преобразование C , то

n	n
∑xi2 преобразуется в ∑ yi2 , и вместо (3.7) мы получим
i=1	i=1
	Q = y 2p+1 + y 2p+2 + ... + yn2 .
Таким образом, Q	равна сумме квадратов n − p независимых нормальных
N( 0,σ 2 ) величин, которые, кроме того, не зависят от y		, y	2	,..., y	p	. По опреде-
	1		2		p

лению распределения хи-квадрат (раздел 3.1) делаем вывод о том, что величина

Q / σ 2 имеет распределение H1( n − p ) . Лемма Фишера доказана.

Перейдем к доказательству утверждения (3.4). Предположим, что среднее

значение генеральной совокупности равно		нулю, т.е. каждое xi нормально
N( 0,σ 2 ) . Это предположение не ограничивает общности,			так как не меняет
s 2 . Рассмотрим тождество
n	n	n
Q = ns 2 = ∑( xi	− x )2 = ∑xi2 − nx 2 = ∑xi2 − y12 .		(3.8)
i=1	i=1	i=1

где y12 = nx 2 . Тогда

y1 = n x =( n x1 + n x2 + ... + n xn ) =( с1,1 x1 + c1,2 x2 + ... + c1,n xn ),

где c1,k = n . Мы видим, что y1 есть линейное преобразование переменных x1 ,x2 ,...,xn , а ( с1,1 ,c1,2 ,...c1,n ) есть первая строка матрицы C этого преобразова-

n
ния. Поскольку ∑ci,k ci,k	=1, т.е. удовлетворяется равенство (3.6), то это пре-
k =1

образование С можно дополнить до ортогонального преобразования. Поэтому

к выражению (3.8) можно применить лемму Фишера, положив в (3.7)				p =1 и
y = n x . В итоге получаем, что величина ns 2		/ σ 2	имеет распределение хи-
1
квадрат с ( n −1) степенями свободы.
Доказательство утверждения (3.5). Исходя из статистик u N( 0,1)				(3.1) и
v H1( n −1) (3.4) мы можем записать, что
t = u	n −1 T ( n −1).
v	1
v

Подставляя сюда выражения для u и v , получим утверждение (3.5).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке СМОД – Статистические методы обработки данных

#
15.06.2014175.21 Кб58laba_1.docx
#
15.06.2014757.86 Кб56laba_2.docx
#
15.06.2014142.13 Кб61laba_3.docx
#
15.06.2014628.44 Кб64laba_5.docx
#
15.06.20140 б60Лаба 1 Нормальное и равномерное распределение.txt
#
15.06.20141 Mб207СМОД_Часть1 Муха ВС, БГУИР 2007 (Мет пособие).pdf
#
15.06.2014797 Кб95СМОД_Часть2 Муха ВС, БГУИР 2007 (Мет пособие).pdf
#
15.06.2014475.68 Кб114СМОД_Часть3 Муха ВС, БГУИР 2007 (Мет пособие).pdf
#
15.06.2014631.17 Кб41Шпоры (Муха ВС) [4343 вопросов].docx