8 СТАТИСТИКА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

8.1 Некоторые определения теории случайных процессов

Пусть задано некоторое вероятностное пространство ( Ω, F ,P ).

Случайным процессом называется функция ξ(ω,t ), ω Ω , t Ωt , которая для любого фиксированного t является измеримой функцией аргумента ω .

Аргумент t здесь понимается как время из некоторого промежутка времени Ωt , а аргумент ω – это элементарный исход (случай). При фиксированном t = t1 мы получаем функцию случая ξ(ω, t1 ) , то есть случайную величину, ко-

торая называется сечением процесса в момент времени t1 . Если зафиксировать случай ω =ω1 , то получим функцию времени ξ(ω1 , t) , которая называется реа-

лизацией, траекторией или выборочной функцией случайного процесса.

В связи с тем, что чаще всего множество Ω оказывается нам недоступным, то есть элементарные исходы не наблюдаются, случайный процесс обозначают как функцию только времени ξ(t) , а зависимость от ω подразумевается.

Если Ωt – отрезок действительной прямой, то случайный процесс ξ(t) на-

зывается процессом с непрерывным временем. Если Ωt – конечное или счетное множество, то случайный процесс ξ(t) называется случайной последовательно-

стью. Случайная последовательность может быть получена из случайного процесса с непрерывным временем выборкой сечений процесса в дискретные моменты времени.

Конечномерной ( n -мерной) функцией распределения случайного процесса

ξ(t) называется совместная функция распределения сечений процесса в момен-

ты t1,...,tn :

F( x1 ,..., xn ,t1 ,...,tn ) = P(ξ( t1 ) < x1 ,...,ξ( tn ) < xn ) .

28

Конечномерной ( n -мерной) плотностью вероятности случайного процесса

ξ(t) называется смешанная производная n -го порядка от n -мерной функции распределения:

В дальнейшем будем рассматривать случайные процессы, для которых существуют конечномерные плотности вероятности.

Математическим ожиданием E(ξ(t)) случайного процесса ξ(t) называется функция aξ (t) , определяемая выражением

∞

aξ ( t ) = E(ξ( t )) = ∫ xfξ ( x,t )dx ,

−∞

где fξ (x,t) – одномерная плотность вероятности случайного процесса.

Дисперсией D(ξ(t)) случайного процесса ξ(t) называется математическое ожидание квадрата отклонения процесса от его математического ожидания:

Ковариационной функцией Rξ (t1,t2 ) случайного процесса ξ(t) называется

коэффициент ковариации между сечениями процесса в два момента времени t1, t2 :

o o o

Rξ ( t1 ,t2 ) = cov(ξ( t1 ),ξ( t2 )) = E(ξ( t1 )ξ( t2 ) ), ξ( t ) = ξ( t ) − E(ξ( t )) .

Для процессов, имеющих конечномерные плотности вероятности, ковариационная функция рассчитывается по формуле

−∞ −∞

где f ( x1 , x2 ,t1 ,t2 ) – двухмерная плотность вероятности случайного процесса.

29

Случайный процесс ξ(t) называется стационарным в строгом или узком смысле, если его конечномерные распределения инвариантны к сдвигу по оси времени.

Случайный процесс ξ(t) называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а ковариационная функция зависит от разности своих аргументов:

oo

Rξ ( t1 ,t2 ) = Rξ (τ ) = E(ξ( t1 )ξ( t1 +τ ) ), τ = t1 − t2 .

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса ξ(t) называ-

ется преобразование Фурье от его ковариационной функции Rξ (τ) : sξ ( ω ) = 21π −∞∫∞Rξ (τ )e− jωτ dτ .

Тогда ковариационная функция может быть определена как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности

sξ,T ( ω) случайной последовательности ξ(kT ) называется ряд Фурье, коэффи-

циентами которого являются значения ковариационной функции:

Коэффициенты ряда Фурье определяются формулой

30

π

Rξ ( kT ) = T∫e jkωT sξ ,T ( ω )dω .

−πT

Это ряд Фурье в комплексной форме. Как известно, функция, имеющая представление в виде ряда Фурье, является периодической, то есть спектральную плотность случайной последовательности достаточно рассматривать в проме-

Rξ ( kT ) – четная ( Rξ (kT )= Rξ (− kT )), то второе слагаемое в последнем выра-

жении оказывается равным нулю, и мы получим

Таким образом, спектральная плотность случайной последовательности представляет собой ряд Фурье по косинусам. С учетом четности функции Rξ ( kT )

можно записать

sξ ,T (ω ) = 2Tπ (Rξ ( 0 ) + 2Rξ (T )cos(ωT ) + 2Rξ ( 2T )cos( 2ωT ) +K)=

При ω = 0 получим

31