Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
СМОД – Статистические методы обработки данных / СМОД_Часть2 Муха ВС, БГУИР 2007 (Мет пособие).pdf
Скачиваний:
95
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
797 Кб
Скачать

8 СТАТИСТИКА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

8.1 Некоторые определения теории случайных процессов

Пусть задано некоторое вероятностное пространство ( Ω, F ,P ).

Случайным процессом называется функция ξ(ω,t ), ω Ω , t Ωt , которая для любого фиксированного t является измеримой функцией аргумента ω .

Аргумент t здесь понимается как время из некоторого промежутка времени Ωt , а аргумент ω – это элементарный исход (случай). При фиксированном t = t1 мы получаем функцию случая ξ(ω, t1 ) , то есть случайную величину, ко-

торая называется сечением процесса в момент времени t1 . Если зафиксировать случай ω =ω1 , то получим функцию времени ξ(ω1 , t) , которая называется реа-

лизацией, траекторией или выборочной функцией случайного процесса.

В связи с тем, что чаще всего множество Ω оказывается нам недоступным, то есть элементарные исходы не наблюдаются, случайный процесс обозначают как функцию только времени ξ(t) , а зависимость от ω подразумевается.

Если Ωt – отрезок действительной прямой, то случайный процесс ξ(t) на-

зывается процессом с непрерывным временем. Если Ωt – конечное или счетное множество, то случайный процесс ξ(t) называется случайной последовательно-

стью. Случайная последовательность может быть получена из случайного процесса с непрерывным временем выборкой сечений процесса в дискретные моменты времени.

Конечномерной ( n -мерной) функцией распределения случайного процесса

ξ(t) называется совместная функция распределения сечений процесса в момен-

ты t1,...,tn :

F( x1 ,..., xn ,t1 ,...,tn ) = P(ξ( t1 ) < x1 ,...,ξ( tn ) < xn ) .

28

Конечномерной ( n -мерной) плотностью вероятности случайного процесса

ξ(t) называется смешанная производная n -го порядка от n -мерной функции распределения:

 

 

 

 

n

fξ ( x1

,..., xn ,t1

,...,tn ) =

 

 

Fξ ( x1 ,..., xn ,t1 ,...,tn ) .

x1

 

 

 

 

,...,xn

В дальнейшем будем рассматривать случайные процессы, для которых существуют конечномерные плотности вероятности.

Математическим ожиданием E(ξ(t)) случайного процесса ξ(t) называется функция aξ (t) , определяемая выражением

aξ ( t ) = E(ξ( t )) = xfξ ( x,t )dx ,

−∞

где fξ (x,t) – одномерная плотность вероятности случайного процесса.

Дисперсией D(ξ(t)) случайного процесса ξ(t) называется математическое ожидание квадрата отклонения процесса от его математического ожидания:

 

σξ2 ( t ) = D( ξ( t )) = E((ξ( t ) aξ ( t ))2

) = ( x aξ ( t ))2 fξ ( x,t )dx .

 

−∞

Ковариационной функцией Rξ (t1,t2 ) случайного процесса ξ(t) называется

коэффициент ковариации между сечениями процесса в два момента времени t1, t2 :

o o o

Rξ ( t1 ,t2 ) = cov(ξ( t1 ),ξ( t2 )) = E(ξ( t1 )ξ( t2 ) ), ξ( t ) = ξ( t ) E(ξ( t )) .

Для процессов, имеющих конечномерные плотности вероятности, ковариационная функция рассчитывается по формуле

Rξ ( t1 ,t2 ) =

( x1 aξ ( t1 ))( x2 aξ ( t2 ))f ( x1 , x2 ,t1 ,t2 )dx1dx2 ,

−∞ −∞

где f ( x1 , x2 ,t1 ,t2 ) – двухмерная плотность вероятности случайного процесса.

29

Случайный процесс ξ(t) называется стационарным в строгом или узком смысле, если его конечномерные распределения инвариантны к сдвигу по оси времени.

Случайный процесс ξ(t) называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а ковариационная функция зависит от разности своих аргументов:

oo

Rξ ( t1 ,t2 ) = Rξ (τ ) = E(ξ( t1 )ξ( t1 +τ ) ), τ = t1 t2 .

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса ξ(t) называ-

ется преобразование Фурье от его ковариационной функции Rξ (τ) : sξ ( ω ) = 21π Rξ (τ )ejωτ dτ .

Тогда ковариационная функция может быть определена как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности

 

 

 

 

Rξ = e jωτ sξ (ω )dω.

 

 

 

−∞

 

Ковариационная

функция

стационарной случайной

последовательности

ξ(kT ) , k =1,2,3...,

T – период квантования во времени,

образует последова-

тельность коэффициентов

ковариаций Rξ (0T ), Rξ (±T ), Rξ (± 2T ), ...,

R (± iT ),…, где

R (iT )= E(ξo (kT )ξo (kT + iT )). Спектральной плотностью

ξ

ξ

 

 

sξ,T ( ω) случайной последовательности ξ(kT ) называется ряд Фурье, коэффи-

циентами которого являются значения ковариационной функции:

 

T

π

 

π .

sξ ,T ( ω ) =

Rξ ( kT )ejkωT ,

ω

 

T

 

2π k =−∞

 

T

Коэффициенты ряда Фурье определяются формулой

30

π

Rξ ( kT ) = Te jkωT sξ ,T ( ω )dω .

πT

Это ряд Фурье в комплексной форме. Как известно, функция, имеющая представление в виде ряда Фурье, является периодической, то есть спектральную плотность случайной последовательности достаточно рассматривать в проме-

жутке

π

<ω < π .

Если

воспользоваться

формулой

Эйлера

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

ejkωT = cos( kωT ) j sin( kωT ) ,

то спектральную плотность можно записать в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sξ ,T ( ω ) =

T

Rξ (kT )cos( kωT ) j

T

Rξ (kT )sin( kωT ).

 

 

 

 

 

 

 

 

2π k =−∞

 

 

2π k =−∞

 

 

Если

учесть,

что

синус

– функция нечетная

( sin( kωT ) = −sin( kωT )), а

Rξ ( kT ) – четная ( Rξ (kT )= Rξ (kT )), то второе слагаемое в последнем выра-

жении оказывается равным нулю, и мы получим

sξ ,T (ω ) =

T

Rξ (kT )cos( kωT ) .

 

 

2π k =−∞

Таким образом, спектральная плотность случайной последовательности представляет собой ряд Фурье по косинусам. С учетом четности функции Rξ ( kT )

можно записать

sξ ,T (ω ) = 2Tπ (Rξ ( 0 ) + 2Rξ (T )cos(ωT ) + 2Rξ ( 2T )cos( 2ωT ) +K)=

 

 

T

 

R

(

0 )

 

 

 

=

 

 

ξ

 

 

 

+ R

(T )cos(ωT ) + R

( 2T )cos( 2ωT ) +K .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ξ

ξ

 

 

π

 

 

 

 

 

 

При ω = 0 получим

 

 

 

 

T

 

R ( 0 )

 

 

 

 

 

s

ξ ,T

( 0 ) =

 

 

ξ

+ R

(T ) + R

( 2T ) + R

( 3T ) +K .

(8.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

ξ

ξ

ξ

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

31