6.Интегралдық және дифференциалдық таралу функцияларды сипаттаңдар.

Метрологияның негізгі паспулаты бойынша өлшем нәтижелері және өлшем қателері кездейсоқ шама болады.

Ықтималдылық теориясы бойынша кездейсоқ шамаларды сипаттау үшін ең ыңғайлы әдісі таралу функцияларды пайдалану.

Таралу функциясы – өлшем нәтижесімен және оның пайда болу ықтималдылығының арасындағы байланысты көрсететін функцияны айтады.

Интегралдық – әр өлшем үшін оның мәні белгілі бір мәннен кіші болу ықтималдығын көрсеткен фунцияны айтады.

Ғ(х) = Р {x_i < x} өлшенетін шаманың белгілі бір х-тен кем болуын көрсететін ықтималдылық.

Ғ(х) = Р {∞ < x_i < x}

Қасиеттері:

1. Ғ(х) ≥ 0 оң таңбалы функция;

2. Кемімейтін функция, егер х₂ > х₁ => Ғ(х₂) > Ғ(х₁)

3. Фунция 0 ≤ Ғ(х) ≤ 1 жатады

4. Осы функция пайдаланылатын шама аралығын анықтауға болады.

Р {x₁ < x ≤ х₂}= Ғ(х₂) - Ғ(х₁) осы белгілі бір аралығында жатуы ықтималдылығы – шектерінің айырымына тең.

Ғ(х)

1

Х

Р(х) = дифференциялық таралу функциясы – интегралдық таралу функциясының аргумент бойынша дифференциалына тең.

Ғ(х) =

Ғ(х) = Р {- ∞ < x_i ≤ x}

Қасиеттері:

1. Р(х) ≥ 0 оң таңбалы

2. Нормальдау шарты орындалады = 1

3. Кездейсоқ шаманың белгілі бір аралықта жату ықтималдылығын анықтауға болады

Р {х₁ < x_i ≤ x₂} =

dx

dδ

х₁ х₂ х

Р(δ) = кездейсоқ қате

Р { δ ₁ < δ ≤ δ ₂} =

Р(х) Математикалық күтім

m_x = M[x] =

0 х

Кездейсоқ қате үшін

= M[δ] =

Математикалық күтімді өлшенетін шаманың шын мәнінің орнына алуға болады.

θ = M[x] – Q

жүйелі қ. шын мәні

мат.күтім

θ = 0 => M[x] = Q

Егер жүйелі қате жойылған кезде мат.күтімді шын мәнінің орнына алуға болады

7.Чебышев теңсіздіктері және 3δ ережесі кездейсоқ қатені бағалауда қалай қолданылады?

P {ǀδ|<ε} > 1 -

Чебышев теңсіздіктері

P{|δ ǀ˃ε} <

Үш сигма ережесі ε = 3

P{ ǀδ|<3σ} ˃ 1 - = 1-

P{ǀδ|<3σ} ˃ ≈ 89 %

P{ǀδ|˃3σ} < =1/9=11 %

P{ ǀδ|<3σ} = 99,73 % Гаусс таралуы үшін ең көп таралған, ең жиі таралған ықтималдылығы

негізгі сақталатыны|δ|<3σ

Үшінші орталық момент – ассиметрия М₃[x]

S_k = , S_k = 0 – симметриялы функция

S_k =0 S_k<0

S_k >0

Төртінші орталық момент – Е – эксцесс

Е = - 3 - бұл шама таралудың графигі үшкір немесе жалпақ болуын көрсетеді.

= 3

E>0

E=0

E<0

8..Өлшеу нәтижелерін және кездейсоқ қателердің қалыпты таралуын Гаусс таралуы сипаттаңдар.

Қалыпты таралу н/е Гаусс таралуы

Шарт-ы: P(x)>0; ;

; – белгілі тұрақты шама

Н

Э нтропия максимал болу үшін

;

Кездейсоқ үшін

;

x=m_{x болған жағдайда, онда}

Ықтималдық теорияның орталық теоремасы б/ша егер кездейсоқ шамалар кездейсоқ болатын көп фактордың нәтижесінде іске асатын болса және делгілі бір фактордың әсері барлық бас фактордың қосынды әсерінен көп кем болатын болса, онда Гаусс таралуы орын алады.

=

.

нормалданған нормаль функция

Ф -Ф нормаланған қалыпты таралу формуласы

Ф(t) әр түрлі t мәндері үшін осы интеграл мәнге келтірілген.

Ф(t) ;

Ғ -Ғ

Ф -Ф

Ф(t) Ф(-t)