1.3 Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.
Минором
элемента
определителя
-го
порядка называется
определитель
-го порядка, получаемый из исходного
определителя вычеркиванием
-ой
строки и
-го
столбца.
Пример
1. Найти миноры всех элементов определителя
.
Решение.
Пример
2. Найти миноры элементов
определителя
.
Решение.
Алгебраическим
дополнением
элемента
определителя
-го
порядка называется его
минор, взятый со знаком
, т.е.
.
Из формулы видно, что перед алгебраическим дополнением берётся знак +, если сумма индексов и чётная, и знак - , если эта сумма нечётная.
Пример.
Найти алгебраические дополнения
элементов
определителя 3-го порядка
.
Решение.
Упражнения.
Найти алгебраические дополнения всех элементов определителя:
1.
2.
3.
4.
1.4 Вычисление определителей 3-го порядка.
Определитель 3-го порядка вычисляют двумя способами: по правилу треугольников и разложением определителя по элементам какой-либо строки (столбца)
1.4.1 Правило треугольников.
В этом случае значение определителя вычисляют как сумму шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трёх элементов определителя, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников берутся со знаком +,
а три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух других треугольников берутся со знаком -- , т.е. вычисление определителя выполняется по следующей схеме:
т.е. вычисление определителя выполняется по следующей схеме:
Пример.
Вычислить определитель 3-го порядка
.
Решение.
Упражнения
Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников:
1.
2.
3.
4.
Замечание:
с помощью правила треугольников можно вычислять только определители третьего порядка.
1.4.2 Разложение определителя по элементам какой-либо строки
(столбца).
В данном случае значение определителя находят как сумму произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:
-
разложение по элементам
-ой
строки;
.
-
разложение по элементам
-ого
столбца;
Пример.
Вычислить определитель 3-го порядка
Решение. Вычислим данный определитель разложением по элементам первой строки:
Замечание:
разложением по элементам какой-либо строки (столбца) вычисляют и определители высших (4-го, 5-го и т.д.) порядков, что утверждает теорема Лапласа:
определитель любого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
-разложение
по элементам
-ой
строки;
-разложение
по элементам
-
го столбца;
.
Пример.
Вычислить определитель 4-го порядка
.
Решение. Данный определитель лучше раскладывать по элементам 1-го столбца, т.к. два элемента в нём являются нулями:
.
Упражнения.
№1.
Вычислить определитель третьего порядка
разложением по элементам 1-ой строки:
№2. Вычислить определитель третьего порядка разложением по элементам 3-го столбца:
