7.5 Решение задач
Пример 1. Выполнить действия в алгебраической форме
.
Решение. В числителе дроби раскроем скобки, а в знаменателе выполним сложение комплексных чисел, сложив соответственно действительные и мнимые части:
.
Умножим
теперь числитель и знаменатель дроби
на выражение
,
сопряжённое знаменателю:
.
Пример
2. Даны числа
.
Выполнить в тригонометрической форме
записи
,
в показательной форме
,
.
Решение.
Найдём модули и аргументы чисел
и
:
.
.
Радиус-вектор, изображающий число находится в IV четверти, поэтому аргумент числа находим по формуле
Радиус-вектор, изображающий число находится в III четверти, поэтому аргумент числа находим по формуле
Запишем числа и в тригонометрической и показательной формах:
,
,
.
Найдём
(см. таблицу):
Найдём
(см. таблицу):
Найдём (см. таблицу):
Найдём
(см. таблицу):
z=a+ib
– алгебраическая форма .
r=
-модуль
tg
-аргумент
-
тригонометрическая форма
–
формула
Муавра возведение в степень
комплексного числа.
Извлечение корня:
,
где
=0,
1,2, ...n-1.
z=re
-показательная
форма комплексного числа.
-
возведение в степень.
,
где
=0,
1, … n-1.
Пример
3. Найти модуль и аргумент комплексного
числа
Решение.
r=
- модуль
tg
-
аргумент
Пример
4. Возвести в степень
Решение
Пример
5.Вычислить
.
Решение.
где
k=0,1,2,3.
Упражнения
1. Представить в тригонометрической форме числа:
1)
2)
3)
4)
5)
2. Вычислить:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
3. Возвести в степень:
1)
2)
3)
4)
4. Извлеките корень:
1)
2)
3)
4)
5)
Раздел 8. Ряды.
8.1 Ряды. Основные определения. Признаки сходимости рядов.
Пусть
дана числовая последовательность чисел
Выражение:
называется
бесконечным
числовым рядом или рядом.
Числа
называются
членами
ряда;
-общий
член.
Сумма
называется частичной
( или частной) суммой
ряда.
Сходимость и расходимость рядов.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частных сумм:
=
=
=
=
при n
имеет конечный предел:
=S
Этот предел S называется суммой сходящегося ряда.
Если
не существует или
=
(бесконечный), то ряд называется
расходящимся.
Такой ряд суммы не имеет.
Примеры:
Ряд: 1+2+3+4+…+n+…
Расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм:
1
3
6
10…..имеет
бесконечный предел
2) Ряд 0+0+0+…+0+… сходится, т.к. последовательность частных сумм
равна 0
Ряд 1+1+1+…+1+… расходится, т.к.
n
=
=
4) Ряд 1-1+1-1+1-1+… расходится, т.к. последовательность его частных
сумм 1;0;1;0.. не имеет предела.