Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Положим при , при . Применим подстановку

.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим метод интегрирования по частям, пусть . Тогда

.

Пример 3. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть

. Тогда

.

Пример 4. Оценить интеграл , используя обобщенную теорему о среднем 9.

Решение. Рассмотрим два случая: а) ; б) .

а) на . Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вычислим производную: , .

Знаменатель дроби обращается в нуль при . Но точка не принадлежит отрезку , следовательно, стационарных и критических точек, принадлежащих отрезку , не существует. Найдем значения функции на концах отрезка: , . Таким образом, , .

Вычислим интеграл .

Получаем оценку для интеграла :

.

Итак, .

б) на . Аналогично пункту а) найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке : , следовательно, , .

Вычислим интеграл .

Получаем следующую оценку .

Сравнивая две полученные оценки, делаем вывод, что наиболее точная оценка для данного интеграла была найдена в пункте а).

Задания для самостоятельной работы

 8. Вычислить определенные интегралы.

, ;	, ;
, ;	, ;
, ;	, ;
, ;	, ;
, ;	, .

 9. Оценить определенные интегралы.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

6. Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы являются обобщением понятия определённого интеграла на случаи: 1) когда область интегрирования неограниченна; 2) когда подынтегральная функция неограниченна в области интегрирования.

Если функция непрерывна на полупрямой , то – некоторая непрерывная функция от . Тогда, если существует предел (6.1), то он называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом функции на и обозначается (6.2). Таким образом

= . (6.3)

Н а рис. 2 в случае неотрицательной функции проиллюстрировано вычисление площади фигуры, ограниченной снизу полупрямой , сверху графиком функции и слева прямой , как предела площади криволинейной трапеции при .

Если предел (6.1) конечен, то интеграл (6.2) сходящийся, если бесконечен, то расходящийся. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

, (6.4)

, (6.5)

где – произвольная фиксированная точка. При этом говорят, что интеграл (6.5) сходится, если сходится каждый из двух несобственных интегралов в правой части этого равенства, и расходится, если хотя бы один из них расходится.

Если сходится интеграл , то интеграл – абсолютно сходящийся.

Для установления сходимости интеграла (6.2) можно использовать следующие признаки сравнения.

Теорема. Пусть всюду на полупрямой справедливо неравенство . Тогда: 1) если интеграл – сходится, то сходится и интеграл , причем ; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл .

Пусть функция непрерывна во всех точках за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Тогда по определению

, где . (6.6)

И нтеграл (6.6) называется несобственным интегралом от разрывной функции. Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то интеграл сходящийся, если хотя бы один из них не существует или бесконечен, то расходящийся.

В случае, когда или (рис.3), в правой части равенства будет только один предел.

Теорема. Пусть всюду на отрезке функции , терпят бесконечный разрыв в точке и всюду, кроме , выполняется неравенство . Тогда: 1) если интеграл – сходится, то сходится и интеграл ; 2) если интеграл расходится, то будет расходиться и интеграл .