Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Используем замену переменной . Тогда , . Получаем:

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Данная функция нечетна относительно . Используем замену переменной . Тогда и

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Применив формулу (1) и табличные интегралы, получим:

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой . .

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то положим . Тогда и

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда и исходный интеграл преобразуется в интеграл вида . Интегрируя его, получим:

.

Пример 8. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то применим подстановку Эйлера

. Отсюда , ,

; , .

Подставив в интеграл, получим:

.

Возвращаясь к переменной , окончательно получим:

.

Задания для самостоятельной работы

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функций.

;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций.

;	;
;	:
;	;
;	;
;	.

5. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл. Свойства определённого интеграла

5.1. Понятие определённого интеграла, его геометрический смысл

Пусть функция определена на . Разобьём произвольным образом точками на частичных отрезков длиной . Выберем в каждом из них произвольно точку и найдем значения функции в каждой из этих точек , то есть . Сумма вида

(5.1)

называется n-ой интегральной суммой функции на .

Г еометрический смысл интегральной суммы (5.1) – сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами (рис.1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка данного разбиения . Найдем предел интегральной суммы , когда так, что .

Определение. Если существует конечный предел суммы (5.1), не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и выбора в них точек , то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается: .

,

– подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – отрезок интегрирования, и – нижний и верхний пределы интегрирования, – переменная интегрирования.

Теорема. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на , т.е. предел интегральной суммы (5.1) существует.

Если , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью и прямыми . Эта фигура называется криволинейной трапецией.

В общем случае, когда функция на отрезке принимает значения разных знаков, определённый интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью и под ней, т.к. расположенной под осью , принимает отрицательное значение.