8.Направления выпуклости графика функции одной переменной. Точки перегиба

Пусть функция имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала . Обозначим дугу графика функции , соответствующую интервалу .

Определение. Если дуга лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции , проведенной в любой точке , то функция или график функции называется выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале (рис. 6 а).

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 6 б,в).

Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.

В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют вогнутой, а выпуклую вниз функцию  выпуклой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда это удобно.

Теорема (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция дифференцируема дважды в интервале и в ней ( ), то является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале .

Необходимое условие точки перегиба. Если  точка перегиба функции , то либо и , либо не существует (рис. б, в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция имеет производную (может быть бесконечную) в точке , существует вторая производная в проколотой окрестности точки и либо , либо не существует. Тогда если при переходе через меняет знак, то является точкой перегиба.

При решении задач на поиск точек перегиба графика функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений

1) Установить область определения функции .

2) Найти вторую производную .

3) Выяснить, в каких точках из области определения вторая производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение ) или не существует.

4) Установить знак второй производной на числовых интервалах, на которые найденные точки разбили область определения, и определить направления выпуклости (если , то график функции направлен выпуклостью вверх, т.е. ; если - выпуклостью вниз, т.е. ).

5) Если при переходе через найденную точку направление выпуклости меняется, то точка – точка перегиба графика функции.

9.Асимптоты графика функции

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. стремление хотя бы одной из координат точки к бесконечности). Пример показан на рис. 7 а.

Нахождение вертикальных асимптот. Если  точка разрыва II рода функции , то прямая является вертикальной асимптотой. Например, если то точка графика при бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте с левой стороны (рис. 7 в, ).

Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен или (рис. 7 в).

Нахождение горизонтальных асимптот. Если (или ), то прямая является горизонтальной асимптотой при (или ).

Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где угловой коэффициент . Коэффициенты и при ( ) находят по формулам:

.

Замечание. В формулах подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты у графика функции нет.

Замечание. Если пределы конечны и , то график имеет горизонтальную асимптоту при ( ). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при ( ), то нет наклонной асимптоты при ( ).