5.Правило Лопиталя

Это правило нахождения некоторых пределов функций при помощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.

Теорема. Пусть 1) функции и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , 2) (или ), 3) и в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и верно равенство

.

Замечание. Теорема верна и для случая ( ).

Замечание. Теорема верна и для случая

Замечание. Из условий теоремы следует, что функция является неопределенностью вида (или ) при , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях раскрыть эти неопределенности.

Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом. Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы является неопределенностью вида (или ). Тогда правило Лопиталя применяется повторно к и т. д. Если после нескольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значение предела, то оно будет равно .

Для раскрытия неопределенностей типа необходимо преобразовать соответствующее произведение , где и , например, (вид ) или (вид ).

В случае неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующую разность , где и , в произведение и раскрыть сначала неопределенность ; если , то следует привести выражение к виду (вид ).

Неопределенности видов , , раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела степени . Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности , при этом используется тождество .

Примеры решения типовых задач

Пример. Найти с помощью правила Лопиталя:

а) ; б) .

Решение. a)

Итак, .

При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности). При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия сформулированного выше утверждения.

б) Очевидно, что здесь вообще нет эквивалентных функций. Кроме того, при и . Это неопределенность вида , к которой правило Лопиталя не применяется, однако можно учесть, что если – бесконечно малая при функция, то будет бесконечно большой при . Поскольку ,то мы приходим к неопределенности и далее действуем так, как при решении задания а). Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому

.

6.Промежутки монотонности и экстремумы функций

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке из области определения, если для любых из условия следует неравенство (соответственно ).

На рисунке 3 а функция возрастает в интервалах , , убывает в .

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция дифференцируема в промежутке и ( ) для всех , то возрастает (соответственно убывает) в промежутке .

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если для каждой точки этой окрестности (соответственно ). Значение функции называется минимумом (соответственно максимумом).

На рис. 3 а) – точка минимума, – точка максимума.

Под экстремумом функции (локальным) понимается либо минимум функции, либо её максимум.

Определение Точка из области определения функции , называется критической точкой, если дифференцируема в и .

Определение Точка из области определения функции , называется стационарной точкой, если не дифференцируема в .

На рис.3 б) – критическая, а на рис. 3 в) точка – стационарная.

Необходимое условие экстремума. Если  точка экстремума функции , то она является стационарной ил критической точкой этой функции.

На рис. б критическая точка является точкой экстремума, а на рис. в стационарная точка не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая или стационарная точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть  критическая или критическая точка функции . Если в некоторой окрестности точки слева от производная принимает один знак, а справа от  противоположный, то  точка экстремума. При этом если слева , справа , то  точка максимума, в противном случае  точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ производная имеет постоянный знак, то не является точкой экстремума. Если к тому же непрерывна в , то функция монотонна в этой окрестности (рис. 3 в)).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть и существует . Тогда если , то  точка максимума. Если же , то  точка минимума.

Вторым достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль , т.е. найти стационарные точки, и найти значения , при которых функция определена, а производная – нет, т. е. критические точки.

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, то не является точкой экстремума; если в окрестности точки слева от нее , а справа , то - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности слева и справа, то - точка минимума исходной функции и .